Newtons gravitationslag

Kraften som drar ett äpple till marken är samma kraft som håller månen i sin bana och planeterna runt solen. Isaac Newtons stora idé var att en lag förklarar dem alla. Här kommer du att skjuta sin kanon och ta reda på varför.

Månen faller hela tiden mot jorden. Det bara fortsätter att saknas.

Titta.

Släpp en boll och den faller. Kasta den åt sidan och den faller fortfarande, men den landar längre bort. Isaac Newton ställde en enkel fråga: vad händer om du kastar den riktigt snabbt?

Tänk dig en kanon på toppen av ett omöjligt högt berg, ovanför luften. Avfyra en kanonkula långsamt och den böjer sig ner och träffar marken. Skjut den snabbare och den landar längre bort. Eftersom jorden är rund, kurvar marken bort under bollen. Vid precis rätt hastighet, kurvar marken bort exakt lika snabbt som bollen faller. Bollen fortsätter att falla, men landar aldrig. Den är i omloppsbana.

Prova med kanonen ovan. Börja långsamt, sedan gå snabbare:

• För långsamt: den faller tillbaka (röd).
• Precis rätt: det går hela vägen runt (grönt).
• Mycket snabbare: den flyr och kommer aldrig tillbaka (gul).

Det är också därför astronauter svävar. De är inte bortom gravitationen. De och deras rymdfarkoster faller runt jorden tillsammans.

Förstå

Newtons gravitationslag säger att varje massa drar på varje annan massa:

F = G · M · m / r²

• F är kraften, M och m de två massorna, r avståndet mellan deras centra.
• G är gravitationskonstanten: 6,674 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻².

Två idéer är packade i den:

1. Tyngre saker drar hårdare. Dubbla massan, dubbla kraften.
2. Avståndet försvagar det snabbt. Fördubbla avståndet och kraften sjunker till en fjärdedel. Det är omvänd kvadratisk lag.

Nära en planet är accelerationen för något som faller g = GM / r². För jorden ger det ca 9,8 m/s² vid ytan. På höjden av den internationella rymdstationen (ca 420 km) är r bara 7% större, så gravitationen är fortfarande ca 88% lika stark.

För en cirkulär bana måste gravitationen ge exakt det drag som behövs för att fortsätta vända banan:

v_cirkulär = √(GM/r)

Strax ovanför jordens yta är detta ca 7,9 km/s. Snabbare än en gevärskula: ungefär 28,000 km/h.

Master

I praktiken använder vi nästan aldrig G och M separat. Deras produkt μ = GM, gravitationsparameter, mäts direkt och mycket mer exakt från månars och rymdfarkosters rörelser. För jorden är μ = 398,600.4355 km³ s⁻², känd till några få delar per miljard, medan G självt bara är känt till cirka 22 delar per miljon (CODATA 2018). Jordens massa som anges i tabellerna är egentligen μ dividerat med G, och den ärver G:s osäkerhet.

Kanonverktyget löser rörelsen exakt för ett tvåkroppsproblem. En horisontell uppskjutning från radie r₀ med hastighet v ger rörelsemängdsmoment h = r₀v och en konisk bana:

r(ν) = p / (1 + e cos ν),   p = h² / μ,   e = |p / r₀ − 1|

där ν är vinkeln från periapsis. Om v är lägre än den cirkulära hastigheten, är startpunkten apoapsis och banan sjunker inåt; om den också sjunker under ytan träffar bollen marken. Vid √(μ/r₀) är omloppsbanan en cirkel (e = 0). Vid √(2μ/r₀) blir det en parabol (e = 1) och bollen flyr.

Newtons lag förklarar också varför verktygets berg är så absurt högt: i verkligheten skulle luften sakta ner en kanonkula långt innan den når omloppshastighet, vilket är anledningen till att raketer stiger ovanför det mesta av atmosfären innan de accelererar i sidled.