Gravità di Newton

La forza che tira una mela a terra è la stessa forza che tiene la Luna nella sua orbita e i pianeti intorno al Sole. La grande idea di Isaac Newton era che una legge le spiegasse tutte. Qui potrete sparare il suo cannone e scoprire perché.

La Luna sta cadendo verso la Terra per tutto il tempo. Continua a mancare.

Guarda.

Lascia cadere una palla e cade. Lancialo di lato e cade ancora, ma atterra più lontano. Isaac Newton ha posto una semplice domanda: e se lo lanciassi davvero velocemente?

Immaginate un cannone in cima a una montagna incredibilmente alta, sopra l’aria. Spara una palla di cannone lentamente e si curva verso il basso e colpisce il terreno. Spara più velocemente e atterra più lontano. Poiché la Terra è rotonda, il terreno si curva sotto la palla. Alla giusta velocità, il terreno si curva esattamente alla stessa velocità della caduta della palla. La palla continua a cadere, ma non atterra mai. È in orbita.

Provalo con il cannone sopra. Inizia lentamente, poi vai più veloce:

• Troppo lento: cade indietro (rosso).
• A destra: va tutto intorno (verde).
• Molto più veloce: scappa e non ritorna mai (giallo).

Questo è anche il motivo per cui gli astronauti galleggiano. Non sono al di là della gravità. Loro, e la loro navicella spaziale, stanno cadendo intorno alla Terra insieme.

Capisci?

La legge di Newton della gravitazione universale dice che ogni massa tira su ogni altra massa:

F = G · M · m / r²

• F è la forza, M e m le due masse, r la distanza tra i loro centri.
• G è la costante gravitazionale: 6,674 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻².

Due idee sono racchiuse in esso:

1. Le cose più pesanti tirano più forte. Raddoppia la massa, raddoppia la forza.
2. La distanza lo indebolisce rapidamente. Raddoppia la distanza e la forza scende a un quarto. Questa è la legge dell’inverso del quadrato.

Vicino a un pianeta, l’accelerazione di qualsiasi cosa che cade è g = GM / r². Per la Terra che dà circa 9,8 m/s² in superficie. All’altezza della Stazione Spaziale Internazionale (circa 420 km), r è solo del 7% più grande, quindi la gravità è ancora dell’88% più forte.

Per un’orbita circolare, la gravità deve fornire esattamente l’attrazione necessaria per continuare a girare il percorso:

v_circolare = √(GM / r)

Appena sopra la superficie terrestre questa è di circa 7,9 km/s. Più veloce di un proiettile: circa 28.000 km/h.

Maestro.

In pratica non usiamo quasi mai G e M separatamente. Il loro prodotto μ = GM, Parametro di gravità, è misurato direttamente e molto più precisamente dal moto delle lune e dei veicoli spaziali. Per la Terra, μ = 398.600,4355 km³ s⁻², conosciuto a poche parti per miliardo, mentre G stesso è noto solo a circa 22 parti per milione (CODATA 2018). La massa della Terra citata nelle tabelle è in realtà μ divisa per G, ed eredita l’incertezza di G.

Lo strumento cannon risolve il moto esattamente per un problema a due corpi. Un lancio orizzontale dal raggio r₀ con velocità v dà il momento angolare h = r₀v e un’orbita conica:

R(ν) = p / (1 + e cos ν),   p = h² / μ,   e = |p / r₀ − 1|

dove ν è l’angolo dal periapside. Se v è al di sotto della velocità circolare, il punto di lancio è l’apoapsis e la traiettoria scende verso l’interno; se anche essa scende sotto la superficie, la palla colpisce il suolo. A √(μ/r₀) l’orbita è un cerchio (e = 0). A √(2μ/r₀) diventa una parabola (e = 1) e la palla scappa.

La legge di Newton spiega anche perché la montagna dello strumento è disegnata così assurdamente alta: in realtà l’aria rallenterebbe qualsiasi palla di cannone molto prima della velocità orbitale, motivo per cui i razzi salgono sopra la maggior parte dell’atmosfera prima di accelerare lateralmente.