Newtons tyngdekraft

Den kraft, der trækker et æble til jorden er den samme kraft, der holder Månen i sin bane og planeterne omkring Solen. Isaac Newtons store idé var, at én lov forklarer dem alle. Her vil du skyde sin kanon og finde ud af hvorfor.

Månen falder hele tiden mod Jorden. Den bliver bare ved med at forsvinde.

Se.

Drop en bold, og det falder. Kast den til siden, og den falder stadig, men den lander længere væk. Isaac Newton stillede et simpelt spørgsmål: Hvad hvis du kastede det reelt hurtigt?

Forestil dig en kanon på toppen af et umuligt højt bjerg, over luften. Skyd en kanonkugle langsomt, og den buer ned og rammer jorden. Skyd den hurtigere, og den lander længere væk. Fordi Jorden er rund, buer jorden væk under bolden. Med den helt rigtige hastighed, kurver jorden sig væk lige så hurtigt som bolden falder. Bolden bliver ved med at falde, men lander aldrig. Den er i kredsløb.

Prøv det med kanonen ovenfor. Start langsomt, og gå derefter hurtigere:

• For langsom: den falder tilbage (rød).
• Lige til højre: det går hele vejen rundt (grøn).
• Meget hurtigere: den flygter og kommer aldrig tilbage (gul).

Det er også derfor, astronauter svæver. De er ikke uden for tyngdekraften. De og deres rumfartøjer falder sammen rundt om Jorden.

Forstået.

Newtons lov om universel tyngdekraft siger, at hver masse trækker på enhver anden masse:

F = G · M · m / r²

• F er kraften, M og m de to masser, r afstanden mellem deres centre.
• G is the gravitational constant: 6.674 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻².

To ideer er pakket ind i det:

1. Tungere ting trækker hårdere. Dobbelt masse, dobbelt kraft.
2. Afstand svækker det hurtigt. Fordobler man afstanden, falder kraften til en fjerdedel. Det er omvendt-kvadrat loven.

I nærheden af en planet er accelerationen af noget, der falder, g = GM / r². For Jorden giver det ca. 9,8 m/s² ved overfladen. At the height of the International Space Station (about 420 km), r is only 7% larger, so gravity is still about 88% as strong.

For en cirkulær bane skal tyngdekraften give præcis det træk, der er nødvendigt for at holde banen drejet:

v_cirkulært = √(GM / r)

Lige over Jordens overflade er dette omkring 7,9 km/s. Hurtigere end en riffelkugle: ca. 28.000 km/t.

Master

I praksis bruger vi næsten aldrig G og M hver for sig. Deres produkt μ = GM, tyngdekraftsparameter, måles direkte og langt mere præcist fra månernes og rumfartøjernes bevægelse. For Jorden er μ = 398.600,4355 km³ s⁻², kendt til nogle få dele pr. milliard, mens G selv kun kendes til omkring 22 dele pr. million (CODATA 2018). Jordens masse, som er angivet i tabellerne, er faktisk μ divideret med G, og den arver usikkerheden for G.

Kanonværktøjet løser bevægelsen præcist for et to-legeme problem. En vandret opsendelse fra radius r₀ med hastighed v giver momentum h = r₀v og en konisk bane:

r(ν) = p / (1 + e cos ν),   p = h² / μ,   e = |p / r₀ − 1|

hvor ν er vinklen fra periapsis. Hvis v er under den cirkulære hastighed, er afsætspunktet apoapsis og banen synker indad; hvis den også synker under overfladen, rammer bolden jorden. Ved √(μ/r₀) er kredsløbet en cirkel (e = 0). Ved √(2μ/r₀) bliver det en parabol (e = 1), og bolden undslipper.

Newtons lov forklarer også hvorfor værktøjets bjerg er tegnet så absurd højt: i virkeligheden ville luften bremse enhver kanonkugle længe før banehastigheden, hvilket er grunden til at raketter stiger over det meste af atmosfæren før de accelererer sidelæns.