Gravitat de Newton

La força que tira una poma a terra és la mateixa força que manté la Lluna en la seva òrbita i els planetes al voltant del Sol. La gran idea d’Isaac Newton era que una llei les explica totes. Aquí dispararàs el seu canó i descobriràs per què.

La Lluna cau cap a la Terra tot el temps. Només segueix desapareixent.

Mira

Deixa caure una pilota i cau. Si el llances de costat, encara cau, però aterra més lluny. Isaac Newton va fer una pregunta senzilla: i si la llancés realment ràpid?

Imagina un canó a la part superior d’una muntanya impossiblement alta, per sobre de l’aire. Dispara una bola de canó lentament i es corba cap avall i colpeja el terra. Dispara més ràpid i aterrarà més lluny. Com que la Terra és rodona, el terra es corba per sota de la bola. A la velocitat adequada, el terra es corba tan ràpid com cau la pilota. La pilota segueix caient, però mai aterra. Està en òrbita.

Intenta-ho amb el canó de dalt. Comença lentament, després va més ràpid:

• Massa lent: cau enrere (vermell).
• Just a la dreta: va tot al voltant (verd).
• Molt més ràpid: s’escapa i no torna mai (groc).

És també per això que els astronautes floten. No estan fora de la gravetat. Ells, i les seves naus espacials, estan caient al voltant de la Terra junts.

Entesos

La llei de Newton de la gravitació universal diu que cada massa atrau a totes les altres masses:

F = G · M · m / r²

• F és la força, M i m les dues masses, r la distància entre els seus centres.
• G és la constant gravitatòria: 6,674 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻².

Hi ha dues idees en ell:

1. Les coses més pesades tiren més fort. Doble massa, doble força.
2. La distància l’afebleix ràpidament. Doble la distància i la força baixa a un quart. Aquesta és la llei del quadrat invers.

Prop d’un planeta, l’acceleració de qualsevol cosa que cau és g = GM / r². Per a la Terra això dóna uns 9,8 m/s² a la superfície. A l’altura de l’Estació Espacial Internacional (uns 420 km), r és només un 7% més gran, de manera que la gravetat encara és al voltant d’un 88% tan forta.

Per a una òrbita circular, la gravetat ha de proporcionar exactament l’ estirada necessària per seguir girant el camí:

v_ circular = √( GM / r)

Just per sobre de la superfície terrestre és d’uns 7,9 km/s. Més ràpid que una bala de rifle: aproximadament 28.000 km/h.

Mestre

En la pràctica gairebé mai no fem servir G i M per separat. El seu producte μ = GM, el paràmetre gravitacional, es mesura directament i molt més precisament a partir del moviment de les llunes i naus espacials. Per a la Terra, μ = 398.600,4355 km³ s⁻², coneguda amb unes poques parts per mil milions, mentre que G en si mateixa només es coneix amb unes 22 parts per milió (CODATA 2018). La massa de la Terra citada en les taules és realment μ dividida per G, i hereta la incertesa de G.

L’eina de canó resol el moviment exactament per a un problema de dos cossos. Un llançament horitzontal des del radi r₀ amb velocitat v dóna moment angular h = r₀v i una òrbita cònica:

r( ν) = p / (1 + e cos ν),   p = h² / μ,   e = |p / r₀ − 1|

on ν és l’ angle des del periàpside. Si v és per sota de la velocitat circular, el punt de llançament és l’apoapsis i el camí s’enfonsa cap a dins; si també s’enfonsa per sota de la superfície, la bola colpeja el terra. A √(μ/r₀) l’òrbita és un cercle (e = 0). A √(2μ/r₀) es converteix en una parabòlica (e = 1) i la bola s’escapa.

La llei de Newton també explica per què la muntanya de l’eina és dibuixada tan absurdament alta: en realitat, l’aire alentiria qualsevol bola de canó molt abans de la velocitat orbital, raó per la qual els coets s’enfilen per sobre de la major part de l’atmosfera abans d’accelerar lateralment.