จุด Lagrange: สมดุลบนท้องฟ้า

ยานอวกาศที่อยู่ห่างจากดวงอาทิตย์มากกว่าโลก ควรจะโคจรรอบมันช้ากว่า และตกหลัง ถึงกระนั้น กล่องโทรทรรศน์อวกาศเจมส์เวบบ์ ที่อยู่ห่างจากโลกไป 1.5 ล้านกิโลเมตร ก็ยังคงติดตามเราตลอดทั้งปี มันอยู่ตรงนี้ จุด Lagrangeหนึ่งในห้าที่ ที่แรงดึงของร่างกายสองตัว และการเคลื่อนไหวของการเดินรอบๆ สมดุลออกมา

Five parking spots in the sky, and only two of them are free of charge.

ดูสิ

ลองจินตนาการถึงภูมิทัศน์ที่ความสูงหมายถึง “พลังงานที่ใช้ในการอยู่ตรงนี้” สำหรับบางสิ่งบางอย่างที่โคจรรอบดวงอาทิตย์กับโลก:

• Two deep wells at the Sun and at Earth.
• L1 และ L2: ทางขึ้นภูเขาสองทาง (แหลม) ที่อยู่ด้านละข้างของโลก, ห่างกันประมาณ 1.5 ล้านกิโลเมตร สมดุล แต่เพียงแค่: กระตุ้นยานอวกาศและมันจะเลื่อนออก ภารกิจที่นั่นทำการแก้ไขเล็กน้อยทุกสองสามสัปดาห์
• ระดับ3: อีกม้าที่อยู่ทางด้านอื่นของดวงอาทิตย์ ไม่มีอะไรที่ใช้ได้ไปที่นั่น เพราะดวงอาทิตย์ปิดมันจากเรา
• L4 และ L5: ยอดเขาที่เรียบง่ายสองแห่ง 60 องศา ด้านหน้าและด้านหลังของโลก คุณคาดหวังว่าสิ่งต่างๆจะกลิ้งออกไป แต่ผลกระทบของ Coriolis ของการหมุน เปลี่ยนสไลด์เป็นวงล้อ พวกมันเป็นเสถียร และธรรมชาติเติมเต็มพวกมัน: L4 และ L5 ของดาวพฤหัสบดีมีมากกว่าหนึ่งหมื่น Trojan asteroids

ใครอยู่ตรงนั้น SOHO เคยมองดูดวงอาทิตย์จาก L1 ตั้งแต่ปี 1996 มันเห็นพายุดวงอาทิตย์ก่อนที่มันจะมาถึงเรา เว็ปทำงานรอบๆ L2 ที่ที่ดวงอาทิตย์ โลก และดวงจันทร์ทั้งหมดอยู่ด้านเดียวกัน หลังหน้าต่างของมัน ทำให้กล้องโทรทรรศน์อยู่ที่ประมาณ -230 °C

เข้าใจ

ในกรอบที่หมุนไปกับโลก วัตถุเล็กๆ รู้สึกถึงแรงดึงดูดของดวงอาทิตย์ แรงดึงดูดของโลก และผลกระทบของการหมุนเวียน ถ้าทั้งสามอย่างถูกยกเลิก มันก็จะยังคงอยู่ในกรอบนั้นได้ นั่นคือโคจรรอบดวงอาทิตย์ ในเวลาแน่นอนหนึ่งปี

สำหรับ L1 และ L2 ระยะห่างจากวัตถุที่เล็กกว่าคือประมาณ รัศมีของเนินเขา:

r ≈ a · ∛(m / 3M)

สำหรับดวงอาทิตย์และโลก: 149.6 ล้านกิโลเมตร × ∛(3.04 × 10⁻⁶ / 3) ≈ 1.5 ล้านกิโลเมตร แก้ไขสมดุลให้ถูกต้อง ให้ 1.49 ล้านกิโลเมตรสำหรับ L1 และ 1.51 ล้านกิโลเมตรสำหรับ L2

เจ้านาย

ในปัญหาสามส่วนที่ถูกกำหนดเป็นวงกลม ระยะทางในหน่วยของการแยก และ μ = m/(M+m) พลังงานที่แท้จริงคือ

Ω( x, y) = −(1−μ)/r₁ − μ/r₂ − ½(x² + y²)

จุดที่อยู่ติดกันบนเส้นตรงจะแก้ไข ∂Ω/∂x =0บนแกน x (เป็นควินติก, แก้ไขด้วยตัวเลขที่นี่); L4 และ L5 กลายเป็นสามเหลี่ยมผืนผ้าที่มีขอบสองด้านเท่ากัน การวิเคราะห์ความมั่นคงทางเสมือนแสดงให้เห็นว่า L1-L3 มีความไม่เสถียรเสมอ และ L4/L5 มีความมั่นคงเมื่อ μ < μ_Routh = ½(1 − √(23/27)) ≈ 0.0385 ยานอวกาศที่ L1 และ L2 บิน halo หรือ Lissajous โคจรรอบจุด แทนที่จะนั่งบนมัน