Lagrange-Punkte: Gleichgewicht am Himmel

Ein Raumschiff, das weiter von der Sonne entfernt ist als die Erde, sollte sie langsamer umkreisen und zurückfallen. Doch das James-Webb-Weltraumteleskop, 1,5 Millionen Kilometer von der Erde entfernt, hält das ganze Jahr über mit uns Schritt. Es sitzt an einem Lagrangepunkt, einer von fünf Orten, an denen die Anziehungskraft zweier Körper und die Bewegung des Kreislaufs ausbalancieren.

Fünf Parkplätze am Himmel, und nur zwei davon sind kostenlos.

Look

Stellen Sie sich eine Landschaft vor, in der die Höhe bedeutet “wie viel Energie es braucht, um hier zu sein” für etwas, das mit der Erde um die Sonne dreht:

• Zwei tiefe Brunnen an der Sonne und an der Erde.
• L1 und L2: zwei Bergpässe (Sättel) auf beiden Seiten der Erde, etwa 1,5 Millionen km entfernt. Ausbalanciert, aber nur gerade: Stößt man ein Raumschiff an, gleitet es ab. Dort werden alle paar Wochen kleine Korrekturen vorgenommen.
• L3: ein weiterer Sattel auf der anderen Seite der Sonne. Nichts Nützliches geht dorthin, weil die Sonne es vor uns blockiert.
• L4 und L5: zwei sanfte Hügel 60 Grad vor und hinter der Erde. Man würde erwarten, dass die Dinge abrollen, aber der Coriolis-Effekt der Rotation verwandelt die Rutsche in eine Schleife. Sie sind stabil, und die Natur füllt sie: Jupiters L4 und L5 halten mehr als zehntausend Trojanische Asteroiden.

Wer lebt dort: SOHO beobachtet die Sonne seit 1996 von L1 aus; es sieht Sonnenstürme, bevor sie uns erreichen. Webb arbeitet um L2 herum, wo Sonne, Erde und Mond alle auf einer Seite hinter seinem Sonnenschutz bleiben und das Teleskop bei etwa −230 °C halten.

Understand

In dem Rahmen, der sich mit der Erde dreht, spürt ein kleines Objekt die Schwerkraft der Sonne, die Schwerkraft der Erde und den nach außen gerichteten Zentrifugaleffekt der Rotation. Wo alle drei annullieren, kann es in diesem Rahmen bleiben, das heißt, die Sonne in genau einem Jahr umkreisen.

Für L1 und L2 ist der Abstand zum kleineren Körper ungefähr der Hill-Radius:

r ≈ a · ∛(m / 3M)

Für Sonne und Erde: 149,6 Millionen km × ∛(3,04 × 10⁻⁶ / 3) ≈ 1,5 Millionen km. Die genaue Lösung des Gleichgewichts ergibt 1,49 Millionen km für L1 und 1,51 Millionen km für L2.

Master

Im kreisförmig beschränkten Dreikörperproblem, mit Abständen in Einheiten der Trennung und μ = m/(M+m), ist das effektive Potential

Ω(x, y) = −(1−μ)/r₁ − μ/r₂ − ½(x² + y²)

Die kolinearen Punkte lösen ∂Ω/∂x = 0 auf der x-Achse (eine Quintik, hier numerisch gelöst); L4 und L5 bilden mit den beiden Körpern gleichseitige Dreiecke. Die lineare Stabilitätsanalyse zeigt, dass L1-L3 immer instabil sind und L4/L5 stabil sind, wenn μ < μ_Routh = ½(1 − √(23/27)) ≈ 0.0385. Raumfahrzeuge bei L1 und L2 fliegen Halo oder Lissajous Umlaufbahnen um den Punkt, anstatt auf ihm zu sitzen.