Punti di Lagrange: equilibrio nel cielo

Un veicolo spaziale più lontano dal Sole della Terra dovrebbe orbitare intorno ad esso più lentamente e rimanere indietro. Eppure il telescopio spaziale James Webb, a 1,5 milioni di chilometri dalla Terra, ci segue tutto l’anno. Si siede ad un Punto di Lagrange, uno dei cinque luoghi in cui la trazione di due corpi e il moto del girare si bilanciano.

Cinque posti auto nel cielo, e solo due di loro sono gratuiti.

Guarda.

Immaginate un paesaggio in cui l’altezza significa “quanta energia ci vuole per essere qui” per qualcosa che ruota attorno al Sole con la Terra:

• Due profondi pozzi al Sole e alla Terra.
• L1 e L2: due passi di montagna (selle) su entrambi i lati della Terra, a circa 1,5 milioni di km di distanza. Equilibrato, ma solo giusto: spingere una navicella spaziale e scivola via. Le missioni effettuano piccole correzioni ogni poche settimane.
• L3: un’altra sella sul lato opposto del Sole. Niente di utile va lì, perché il Sole lo blocca da noi.
• L4 e L5: due dolci colline 60 gradi avanti e dietro la Terra. Ci si aspetterebbe che le cose rotolino via, ma l’effetto Coriolis della rotazione trasforma la diapositiva in un ciclo. Sono stabili, e la natura li riempie: i punti L4 e L5 di Giove contengono più di diecimila asteroidi. Gli asteroidi troiani.

Chi vive lì: SOHO osserva il Sole da L1 dal 1996; vede le tempeste solari prima che raggiungano noi. Webb lavora attorno al punto L2, dove il Sole, la Terra e la Luna si trovano tutti da un lato, dietro il suo parasole, mantenendo il telescopio a circa −230 °C.

Capisci?

Nella cornice che ruota con la Terra, un piccolo oggetto sente la gravità del Sole, la gravità della Terra e l’effetto centrifugo verso l’esterno della rotazione. Dove tutti e tre cancellano, può rimanere fermo in quel quadro, cioè orbitare il Sole in esattamente un anno.

Per L1 e L2 la distanza dal corpo più piccolo è approssimativamente il raggio di Hill:

r ≈ a · ∛(m / 3M)

Per il Sole e la Terra: 149,6 milioni di km × ∛(3,04 × 10⁻⁶ / 3) ≈ 1,5 milioni di km. Risolvendo esattamente l’equilibrio si ottengono 1,49 milioni di km per L1 e 1,51 milioni di km per L2.

Maestro.

Nel problema circolare dei tre corpi, con le distanze in unità della separazione e μ = m/(M+m), il potenziale effettivo è

Ω(x, y) = −(1−μ)/r₁ − μ/r₂ − ½(x² + y²)

I punti collinari risolvono ∂Ω/∂x = 0 sull’asse x (una quintica, risolta numericamente qui); L4 e L5 formano triangoli equilateri con i due corpi. L’analisi della stabilità lineare mostra che L1-L3 sono sempre instabili, e L4/L5 sono stabili quando μ < μ_Routh = ½(1 − √(23/27)) ≈ 0.0385. Le navette spaziali a L1 e L2 volano in orbite halo o Lissajous attorno al punto piuttosto che sedersi su di esso.