Punts de Lagrange: equilibri en el cel

Una nau espacial més lluny del Sol que la Terra l’hauria de girar més lentament i quedar-se enrere. No obstant això, el Telescopi Espacial James Webb, 1.5 milions de quilòmetres més enllà de la Terra, segueix el nostre pas tot l’any. Es troba en un punt de Lagrange, un dels cinc llocs on l’atracció de dos cossos i el moviment d’anar al voltant s’equilibren.

Cinc llocs d’aparcament al cel, i només dos d’ells són gratuïts.

Mira

Imagineu un paisatge on l’ alçada significa “quant d’ energia es necessita per estar aquí” per a alguna cosa que gira al voltant del Sol amb la Terra:

• Dos profunds pous al Sol i a la Terra.
• L1 i L2: dos passos de muntanya (selles) a cada costat de la Terra, a uns 1,5 milions de km de distància. Equilibrat, però només just: pega una nau espacial i es deslliça. Les missions allà fan petites correccions cada poques setmanes.
• L3: una altra sella a l’altra banda del Sol. No hi va res útil, perquè el Sol ens ho bloqueja.
• L4 i L5: dos turons suaus 60 graus davant i darrere de la Terra. Esperaries que les coses es desplacessin, però l’efecte Coriolis de la rotació converteix el tobogan en un bucle. Són estables, i la natura els omple: L4 i L5 de Júpiter contenen més de deu mil Asteroides troians.

Qui hi viu: SOHO ha observat el Sol des de L1 des del 1996; veu tempestes solars abans que ens arribin. Webb treballa al voltant de L2, on el Sol, la Terra i la Lluna es queden tots d’un costat, darrere del seu para-sol, mantenint el telescopi a uns −230 °C.

Entesos

En el marc que gira amb la Terra, un petit objecte sent la gravetat del Sol, la gravetat de la Terra i l’efecte centrífug cap a fora de la rotació. On tots tres cancel·len, pot romandre quiet en aquest marc, és a dir, orbitar el Sol en exactament un any.

Per a L1 i L2 la distància des del cos més petit és aproximadament el radi de Hill:

r ≈ a · ∛(m / 3M)

Per al Sol i la Terra: 149,6 milions de km × ∛(3.04 × 10⁻⁶ / 3) ≈ 1,5 milions de km. Resoldre el balanç exactament dóna 1,49 milions de km per a L1 i 1,51 milions de km per a L2.

Mestre

En el problema circular restringit de tres cossos, amb distàncies en unitats de la separació i μ = m/(M+m), el potencial efectiu és

Ω( x, y) = −( 1−μ)/ r₁ − μ/ r₂ − ½( x² + y²)

Els punts colineals resolen ∂Ω/∂x = 0 en l’eix x (una quintica, resolta numèricament aquí); L4 i L5 formen triangles equilàters amb els dos cossos. L’anàlisi d’estabilitat lineal mostra que L1-L3 són sempre inestables, i L4/L5 són estables quan μ < μ_Routh = ½(1 − √(23/27)) ≈ 0.0385. Les naus espacials a L1 i L2 volen halo o Lissajous òrbites al voltant del punt en lloc de seure sobre ell.