Puncte Lagrange: echilibru pe cer

O navă spațială mai departe de Soare decât Pământul ar trebui să-l orbiteze mai încet și să rămână în urmă. Cu toate acestea, Telescopul Spațial James Webb, aflat la 1,5 milioane de km depărtare de Pământ, ține pasul cu noi pe tot parcursul anului. Se află la Lagrange point, unul din cele cinci locuri unde atracția dintre două corpuri și mișcarea de mers în cerc se echilibrează.

Cinci locuri de parcare în cer, și doar două dintre ele sunt gratuite.

Uite.

Imaginați-vă un peisaj în care înălțimea înseamnă “cât de multă energie este nevoie pentru a fi aici” pentru ceva care se rotește în jurul Soarelui cu Pământul:

• Două adânci puțuri La Soare şi la Pământ.
• L1 și L2: două trecători montane (șai) de fiecare parte a Pământului, la o distanță de aproximativ 1,5 milioane km. Echilibrat, dar doar: împinge o navă spațială și alunecă. Misiunile de acolo fac mici corecţii la fiecare câteva săptămâni.
• L3: o altă şa pe partea opusă a Soarelui. Nimic util nu merge acolo, pentru că Soarele îl blochează de la noi.
• L4 și L5: două vârfuri de dealuri cu 60 de grade înainte și în spatele Pământului. Te-ai aștepta ca lucrurile să se rostogolească, dar efectul Coriolis al rotației transformă diapozitivul într-o buclă. Sunt stabile, iar natura le umple: L4 şi L5 ale lui Jupiter conţin mai mult de zece mii de planete. Asteroizi troieni.

Cine locuiește acolo: SOHO observă Soarele din L1 încă din 1996; vede furtunile solare înainte ca acestea să ajungă la noi. Webb lucrează în jurul L2, unde Soarele, Pământul și Luna stau pe o parte, în spatele ecranului solar, menținând telescopul la aproximativ −230 °C.

Înţelegeţi.

În cadrul care se rotește cu Pământul, un obiect mic simte gravitația Soarelui, gravitația Pământului și efectul centrifugal exterior al rotației. Acolo unde toate cele trei se anulează, ea poate rămâne în acel cadru, adică orbitează Soarele în exact un an.

Pentru L1 și L2 distanța față de corpul mai mic este aproximativ raza lui Hill:

r ≈ a · ∛(m / 3M)

Pentru Soare și Pământ: 149,6 milioane km × ∛(3,04 × 10⁻⁶ / 3) ≈ 1,5 milioane km. Rezolvarea exactă a balanței dă 1,49 milioane km pentru L1 și 1,51 milioane km pentru L2.

Maestre.

În problema circulară cu trei corpuri, cu distanțele în unități de separare și μ = m/(M+m), potențialul efectiv este

Ω(x, y) = −(1−μ)/r₁ − μ/r₂ − ½(x² + y²)

Punctele colinear rezolvă ∂Ω/∂x = 0 pe axa x (o cincică, rezolvată numeric aici); L4 și L5 formează triunghiuri echilaterale cu cele două corpuri. Analiza liniară a stabilității arată că L1-L3 sunt întotdeauna instabile, iar L4/L5 sunt stabile când μ < μ_Routh = ½(1 − √(23/27)) ≈ 0.0385. Navele spațiale din L1 și L2 zboară pe orbite halo sau Lissajous în jurul punctului, mai degrabă decât să stea pe el.