Lagrange-pisteet: tasapaino taivaalla

Avaruusalus, joka on kauempana Auringosta kuin Maa, kiertää sitä hitaammin ja jää jälkeen. Kuitenkin James Webb -avaruusteleskooppi, joka on 1,5 miljoonaa kilometriä Maan ulkopuolella, pysyy mukanamme ympäri vuoden. Se istuu a Lagrange-piste, yksi viidestä paikasta, jossa kahden ruumiin veto ja liike menee kierroksella tasapainottamaan.

Viisi pysäköintipaikkaa taivaalla, ja vain kaksi niistä ovat ilmaisia.

Katso.

Kuvittele maisema, jossa korkeus tarkoittaa “kuinka paljon energiaa tarvitaan ollakseen täällä” jollekin, joka kiertää Aurinkoa Maan kanssa:

• Kaksi syvää kaivot Aurinko ja Maa.
• L1 ja L2: kaksi vuoristosolaa (satulaa) maapallon kummallakin puolella, noin 1,5 miljoonan kilometrin päässä. Tasapainoinen, mutta vain: nykäise avaruusalus ja se liukuu pois. Siellä tehtävät valtuuskunnat tekevät pieniä korjauksia muutaman viikon välein.
• L3: toinen satula Auringon kaukaisella puolella. Mikään hyödyllinen ei mene sinne, koska Aurinko estää sen meiltä.
• L4 ja L5: kaksi lempeää mäenhuippua 60 astetta Maan edellä ja takana. Voisi olettaa, että asiat rullaavat pois, mutta Coriolis-ilmiö kiertymisen muuttaa liukumäen silmukka. Ne ovat vakaita, ja luonto täyttää ne: Jupiterin L4- ja L5-pisteissä on yli kymmenen tuhatta asteroidia. Troijan asteroidit.

Kuka siellä asuu: SOHO on tarkkaillut Aurinkoa L1-pisteestä vuodesta 1996 lähtien; se näkee aurinkomyrskyjä ennen kuin ne saavuttavat meidät. Webb työskentelee L2-pisteessä, jossa Aurinko, Maa ja Kuu pysyvät yhdellä puolella, aurinkosuojansa takana, pitäen teleskoopin lämpötilan noin −230 °C:ssa.

Ymmärrän.

Maan kanssa pyörivässä kehyksessä pieni kappale tuntee Auringon painovoiman, Maan painovoiman ja pyörimisen ulospäin suuntautuvan keskipakoisvaikutuksen. Jos kaikki kolme peruutetaan, se voi pysyä siinä kehyksessä, eli kiertää Aurinkoa täsmälleen yhden vuoden ajan.

L1:n ja L2:n etäisyys pienemmästä kappaleesta on suunnilleen Hill säde:

r ≈ a · ∛(m / 3M)

Auringon ja Maan kohdalla: 149,6 miljoonaa km × ∛(3,04 × 10⁻⁶ / 3) ≈ 1,5 miljoonaa km. Tasapainotuksen tarkka ratkaisu antaa 1,49 miljoonaa km L1:lle ja 1,51 miljoonaa km L2:lle.

Mestari.

Pyöreässä rajoitetussa kolmen kappaleen ongelmassa, jossa etäisyydet ovat erotusyksiköissä ja μ = m/(M+m), efektiivinen potentiaali on

Ω(x, y) = −(1−μ)/r₁ − μ/r₂ − ½(x² + y²)

Kollineaariset pisteet ratkaisevat x-akselin ∂Ω/∂x = 0 (kvintti, ratkaistu numeerisesti tässä); L4 ja L5 muodostavat tasakylkiset kolmiot näiden kahden kappaleen kanssa. Lineaarinen stabiilisuusanalyysi osoittaa, että L1-L3 ovat aina epästabiileja ja L4/L5 ovat stabiileja kun μ < μ_Routh = ½(1 − √(23/27)) ≈ 0.0385. L1- ja L2-pisteissä olevat avaruusasemat kiertävät pisteen ympäri halo tai Lissajous -radalla sen sijaan, että ne istuisivat pisteessä.