Σημεία Λαγκράνζ: ισορροπία στον ουρανό

Ένα διαστημόπλοιο που βρίσκεται πιο μακριά από τον Ήλιο από τη Γη θα πρέπει να περιστρέφεται γύρω του πιο αργά και να μένει πίσω. Ωστόσο, το Διαστημικό Τηλεσκόπιο που βρίσκεται 1,5 εκατομμύρια χιλιόμετρα μακριά από τη Γη, μας παρακολουθεί όλο το χρόνο. Καθίζει σε ένα Σημείο του Λαγκράνζ, ένα από τα πέντε σημεία όπου η έλξη δύο σωμάτων και η κίνηση του γύρου εξισορροπούνται.

Πέντε θέσεις στάθμευσης στον ουρανό, και μόνο δύο από αυτά είναι δωρεάν.

Κοίτα.

Φανταστείτε ένα τοπίο όπου το ύψος σημαίνει “πόσο ενέργεια χρειάζεται για να είσαι εδώ” για κάτι που περιστρέφεται γύρω από τον Ήλιο με τη Γη:

• Δύο βαθιά σκατά φρεάτια στον Ήλιο και στη Γη.
• Ε1 και Ε2: δύο ορεινά περάσματα (σέλες) και στις δύο πλευρές της Γης, περίπου 1,5 εκατομμύρια χιλιόμετρα μακριά. Ισορροπημένη, αλλά μόνο ακριβώς: σπρώξτε ένα διαστημόπλοιο και γλιστρά. Οι αποστολές εκεί κάνουν μικρές διορθώσεις κάθε λίγες εβδομάδες.
• Ε3: μια άλλη σέλα στην απέναντι πλευρά του Ήλιου. Τίποτα χρήσιμο δεν πηγαίνει εκεί, γιατί ο Ήλιος το μπλοκάρει από εμάς.
• Ε4 και Ε5: δύο ήπιες κορυφές λόφων 60 μοίρες μπροστά και πίσω από τη Γη. Θα περίμενε κανείς τα πράγματα να κυλήσουν, αλλά η επίδραση της περιστροφής μετατρέπει τη διαφάνεια σε ένα βρόχο. Είναι σταθεροί, και η φύση τους γεμίζει: οι L4 και L5 του Δία κρατούν πάνω από δέκα χιλιάδες Trojan asteroids.

Ποιος ζει εκεί: Το SOHO παρακολουθεί τον Ήλιο από το L1 από το 1996. Βλέπει τις ηλιακές καταιγίδες πριν φτάσουν σε εμάς. Ο Γουέμπ εργάζεται γύρω από το L2, όπου ο Ήλιος, η Γη και η Σελήνη παραμένουν στη μία πλευρά, πίσω από την ηλιακή του ασπίδα, διατηρώντας το τηλεσκόπιο στους περίπου −230 °C.

Καταλάβετε

Στο πλαίσιο που περιστρέφεται με τη Γη, ένα μικρό αντικείμενο αισθάνεται τη βαρύτητα του Ήλιου, τη βαρύτητα της Γης και το εξωτερικό φυγόκεντρο αποτέλεσμα της περιστροφής. Όπου και οι τρεις ακυρώνονται, μπορεί να παραμείνει ακίνητος σε αυτό το πλαίσιο, δηλαδή να περιστρέφεται γύρω από τον Ήλιο σε ένα χρόνο ακριβώς.

Για τα L1 και L2 η απόσταση από το μικρότερο σώμα είναι περίπου η Ακτίνα λόφων:

r ≈ a · ∛(m / 3M)

Για τον Ήλιο και τη Γη: 149,6 εκατομμύρια χιλιόμετρα × ∛(3.04 × 10⁻⁶ / 3) ≈ 1,5 εκατομμύρια χλμ. Η επίλυση της ισορροπίας δίνει ακριβώς 1,49 εκατομμύρια χιλιόμετρα για το L1 και 1,51 εκατομμύρια χιλιόμετρα για το L2.

Κύριε.

Στο κυκλικό περιορισμένο πρόβλημα τριών σωμάτων, με αποστάσεις σε μονάδες του διαχωρισμού και μ = το αποτελεσματικό δυναμικό είναι

Ω(x, y) = −(1−μ)/r₁ − μ/r₂ − ½(x² + y²)

Τα χονδρικά σημεία επιλύουν ∂Ω/∂x = 0 στον άξονα x (ένα πενταδικό, που λύνεται αριθμητικά εδώ)· L4 και L5 σχηματίζουν ισόπλευρα τρίγωνα με τα δύο σώματα. Η γραμμική ανάλυση σταθερότητας δείχνει ότι τα L1-L3 είναι πάντα ασταθή, και τα L4/L5 είναι σταθερά όταν μ < μ_Routh = ½(1 − √(23/27)) ≈ 0.0385. Διαστημόπλοιο στα σημεία L1 και L2 Ήλιος ή Λισάγιο τροχιά γύρω από το σημείο αντί να κάθεται πάνω του.