Points de Lagrange: équilibre dans le ciel

Un vaisseau spatial plus éloigné du Soleil que la Terre devrait tourner autour de lui plus lentement et prendre du retard. Pourtant, le télescope spatial James Webb, à 1,5 million de kilomètres au-delà de la Terre, nous suit tout au long de l’année. Il se trouve à un Point de Lagrange, un des cinq endroits où l’attraction de deux corps et le mouvement d’aller en rond s’équilibrent.

Cinq places de stationnement dans le ciel, et seulement deux d’entre eux sont gratuits.

Regardez.

Imaginez un paysage où la hauteur signifie “combien d’énergie il faut pour être ici” pour quelque chose qui tourne autour du Soleil avec la Terre:

• Deux profonds puits Au Soleil et à la Terre.
• L1 et L2: deux cols de montagne (selle) de chaque côté de la Terre, à environ 1,5 million de km. Équilibré, mais seulement juste: pousser un vaisseau spatial et il glisse. Les missions y font de petites corrections toutes les quelques semaines.
• L3: une autre selle du côté opposé du Soleil. Rien d’utile n’y va, parce que le Soleil nous l’empêche.
• L4 et L5: deux collines douces à 60 degrés devant et derrière la Terre. Vous vous attendriez à ce que les choses roulent, mais l’effet Coriolis de la rotation transforme le toboggan en une boucle. Ils sont stables, et la nature les remplit : les points L4 et L5 de Jupiter contiennent plus de dix mille astéroïdes troyens.

Qui y habite: SOHO observe le Soleil depuis L1 depuis 1996; il voit les tempêtes solaires avant qu’elles ne nous atteignent. Webb travaille autour du point L2, où le Soleil, la Terre et la Lune restent tous d’un côté, derrière son pare-soleil, ce qui maintient le télescope à environ -230 °C.

Comprendre

Dans le cadre qui tourne avec la Terre, un petit objet ressent la gravité du Soleil, la gravité de la Terre et l’effet centrifuge vers l’extérieur de la rotation. Là où tous les trois annulent, il peut rester immobile dans ce cadre, c’est-à-dire orbiter le Soleil en exactement un an.

Pour L1 et L2, la distance par rapport au corps plus petit est approximativement le rayon de Hill:

r ≈ a · ∛(m / 3M)

Pour le Soleil et la Terre: 149,6 millions de km × ∛(3,04 × 10⁻⁶ / 3) ≈ 1,5 million de km. Résoudre le bilan exact donne 1,49 million de km pour L1 et 1,51 million de km pour L2.

Master

Dans le problème circulaire restreint à trois corps, avec des distances en unités de la séparation et μ = m/(M+m), le potentiel effectif est

Ω(x, y) = −(1−μ)/r₁ − μ/r₂ − ½(x² + y²)

Les points collinéaires résolvent ∂Ω/∂x = 0 sur l’axe des x (une quintique, résolu numériquement ici); L4 et L5 forment des triangles équilatéraux avec les deux corps. L’analyse de stabilité linéaire montre que L1-L3 sont toujours instables, et L4/L5 sont stables lorsque μ < μ_Routh = ½(1 − √(23/27)) ≈ 0.0385. Les engins spatiaux à L1 et L2 volent sur des orbites halo ou Lissajous autour du point plutôt que de s’y asseoir.