Pontos de Lagrange: equilíbrio no céu

Uma nave espacial mais distante do Sol que a Terra deveria circulá-lo mais lentamente e ficar para trás. No entanto, o Telescópio Espacial James Webb, 1,5 milhão de quilômetros além da Terra, acompanha-nos durante todo o ano. Ele se senta em um Ponto de Lagrange, um dos cinco lugares onde a tração de dois corpos e o movimento de ir em volta se equilibram.

Cinco lugares de estacionamento no céu, e apenas dois deles são gratuitos.

Olha.

Imagine uma paisagem onde a altura significa “quanta energia é necessária para estar aqui” para algo que gira em torno do Sol com a Terra:

• Dois profundos poços ao Sol e à Terra.
• L1 e L2: dois passos de montanha (selas) em cada lado da Terra, a cerca de 1,5 milhões de km de distância. Equilibrado, mas apenas: empurre uma nave espacial e ela desliza. As missões lá fazem pequenas correções a cada poucas semanas.
• L3: outra sela no lado mais distante do Sol. Nada útil vai lá, porque o Sol bloqueia-o de nós.
• L4 e L5: dois picos suaves a 60 graus à frente e atrás da Terra. Você esperaria que as coisas rolassem, mas o efeito Coriolis da rotação transforma o slide em um loop. Eles são estáveis, e a natureza os preenche: L4 e L5 de Júpiter contêm mais de dez mil Asteroide troiano de Júpiter.

Quem mora lá: O SOHO observa o Sol a partir de L1 desde 1996; ele vê tempestades solares antes que elas cheguem até nós. Webb trabalha em torno do ponto L2, onde o Sol, a Terra e a Lua ficam de um lado, atrás do seu escudo solar, mantendo o telescópio a cerca de -230 °C.

Entenda.

No quadro que gira com a Terra, um pequeno objeto sente a gravidade do Sol, a gravidade da Terra e o efeito centrífugo para fora da rotação. Onde todos os três cancelam, ele pode ficar parado nesse quadro, ou seja, orbitar o Sol em exatamente um ano.

Para L1 e L2 a distância do corpo menor é aproximadamente Raio da colina:

r ≈ a · ∛(m / 3M)

Para o Sol e a Terra: 149,6 milhões de km × ∛(3,04 × 10⁻⁶ / 3) ≈ 1,5 milhões de km. Resolver o equilíbrio exatamente dá 1,49 milhões de km para L1 e 1,51 milhões de km para L2.

Mestre

No problema circular restrito de três corpos, com distâncias em unidades da separação e μ = m/(M+m), o potencial efetivo é

Ω(x, y) = −(1−μ)/r₁ − μ/r₂ − ½(x² + y²)

Os pontos colineares resolvem ∂Ω/∂x = 0 no eixo x (uma quintica, resolvida numericamente aqui); L4 e L5 formam triângulos equiláteros com os dois corpos. A análise de estabilidade linear mostra que L1-L3 são sempre instáveis, e L4/L5 são estáveis quando μ < μ_Routh = ½(1 − √(23/27)) ≈ 0.0385. As naves espaciais em L1 e L2 voam em órbitas halo ou Lissajous ao redor do ponto, em vez de ficarem sentadas nele.