Lagrangepunkter: balans på himlen

En rymdfarkost som befinner sig längre från solen än jorden borde kretsa långsammare runt den och hamna efter. Men James Webb Space Telescope, 1,5 miljoner km bortom jorden, håller jämna steg med oss året runt. Den sitter på en Lagrangepunkt, en av fem platser där dragningen mellan två kroppar och rörelsen att gå runt balanserar ut.

Fem parkeringsplatser i himlen, och bara två av dem är gratis.

Titta.

Tänk dig ett landskap där höjd betyder “hur mycket energi det tar att vara här” för något som kretsar runt solen med jorden:

• Två djupa brunnar vid solen och jorden.
• L1 och L2: två bergspass (sadlar) på vardera sidan av jorden, ca 1,5 miljoner km bort. Balanserad, men bara: knuffa en rymdfarkost och den glider av. Missionerna där gör små korrigeringar med några veckors mellanrum.
• L3: en annan sadel på den andra sidan av solen. Inget användbart går dit, eftersom solen blockerar det från oss.
• L4 och L5: två mjuka kullar 60 grader framför och bakom jorden. Du skulle förvänta dig att saker och ting rullar av, men Corioliseffekten i rotationen gör glidbanan till en slinga. De är stabila och naturen fyller dem: Jupiters L4 och L5 rymmer mer än tiotusen Lista över trojanska asteroider.

Vem bor där: SOHO har observerat solen från L1 sedan 1996; den ser solstormar innan de når oss. Webb arbetar runt L2, där solen, jorden och månen alla befinner sig på samma sida, bakom solskärmen, vilket håller teleskopet vid cirka −230 °C.

Förstå

I den ram som roterar med jorden, känner ett litet objekt solens gravitation, jordens gravitation och utåtgående centrifugaleffekt av rotation. Där alla tre avbryter, kan den stanna kvar i det ramverket, det vill säga, omloppsbana runt solen på exakt ett år.

För L1 och L2 är avståndet från den mindre kroppen ungefär Hillradien:

r ≈ a · ∛(m / 3M)

För solen och jorden: 149,6 miljoner km × ∛(3,04 × 10⁻⁶ / 3) ≈ 1,5 miljoner km. Löser man balansen exakt får man 1,49 miljoner km för L1 och 1,51 miljoner km för L2.

Master

I det cirkulära trekroppsproblemet, med avstånd i enheter för separationen och μ = m/(M+m), är den effektiva potentialen

Ω(x, y) = −(1−μ)/r₁ − μ/r₂ − ½(x² + y²)

De kolineära punkterna löser ∂Ω/∂x = 0 på x-axeln (en kvintik, som här löses numeriskt); L4 och L5 bildar liksidiga trianglar med de två kropparna. Linjär stabilitetsanalys visar att L1-L3 alltid är instabila, och L4/L5 är stabila när μ < μ_Routh = ½(1 − √(23/27)) ≈ 0.0385. Rymdfarkoster vid L1 och L2 flyger i en halo eller Lissajous-bana runt punkten snarare än att sitta på den.