Точки Лагранжа: баланс на небі

Космічний апарат, що знаходиться далі від Сонця, ніж Земля, повинен обертатися навколо неї повільніше і відставати. Але космічний телескоп Джеймса Вебба, що знаходиться за 1,5 мільйона км від Землі, стежить за нами цілий рік. Вона розташована в точці Лагранжа, одному з п’яти місць, де тяжіння двох тіл і рух навколо себе балансують.

П’ять парковочных мест в небе, и только два из них бесплатные.

Дивіться.

Уявіть собі пейзаж, де висота означає « скільки енергії потрібно для того, щоб бути тут » для чогось, що обертається навколо Сонця разом із Землею:

• Дві глибокі швидкі на Сонці і на Землі.
• L1 і L2: два гірські перевали (сідлища) по обидва боки Землі, на відстані близько 1,5 мільйона км. Збалансоване, але тільки так: поштовхнути космічний корабель і він відскочить. Там місії роблять невеликі корекції кожні кілька тижнів.
• L3: інше сідло на далекій стороні Сонця. Нічого корисного не потрапляє туди, тому що Сонце блокує його від нас.
• L4 і L5: дві гладкі вершини на відстані 60 градусів одна від одної. Ви б очікували, що все відкочується, але ефект Кориоліса обертання перетворює слайд на петлю. Вони стабільні, і природа їх заповнює: L4 і L5 Юпітера містять більше десяти тисяч троянських астероїдів.

Хто там живе: SOHO спостерігає за Сонцем з L1 з 1996 року; він бачить сонячні бурі, перш ніж вони досягнуть нас. Вебб працює навколо L2, де Сонце, Земля і Місяць залишаються з одного боку, за його сонячним щитом, утримуючи телескоп при температурі близько −230 °C.

Розумію

У рамці, що обертається разом із Землею, невеликий об’єкт відчуває гравітацію Сонця, гравітацію Землі і зовнішній центробежний ефект обертання. Там, де всі три скасовані, він може залишатися в цій системі, тобто орбітувати Сонце за один рік.

Для L1 і L2 відстань до меншого тіла приблизно дорівнює радіусу Гілла:

r ≈ a · ∛(m / 3M)

Для Сонця і Землі: 149,6 мільйонів км × ∛(3.04 × 10⁻⁶ / 3) ≈ 1,5 мільйона км. Розв’язуючи баланс точно, отримуємо 1,49 мільйона км для L1 і 1,51 мільйона км для L2.

Майстер

У задачі з обмеженим кругом трьох тіл, з відстанями в одиницях розділення і μ = m/ (M+m), ефективний потенціал є

Ω( x, y) = −( 1 − μ) / r₁ − μ/ r₂ − ½( x² + y²)

Колінійні точки розв’язують ∂Ω/∂x = 0 на осі x (квінтик, вирішений числово тут); L4 і L5 утворюють рівносторонні трикутники з двома тілами. Лінійний аналіз стабільності показує, що L1-L3 завжди нестабільні, а L4/L5 стабільні, коли μ < μ_Routh = ½(1 − √(23/27)) ≈ 0.0385. Космічні апарати в точках L1 і L2 летять на гало або Ліссажусових орбітах навколо точки, а не сидять на ній.