نقاط لاغرانج: التوازن في السماء

وينبغي للمركبة الفضائية اﻷبعد عن الشمس من اﻷرض أن تدور حولها ببطء أكبر وأن تتخلف عنها . ومع ذلك فإن مقراب جيمس ويب الفضائي، الذي يبعد 1.5 مليون كيلومتر عن الأرض، يواكبنا طوال السنة. إنه يجلس على نقطة لاغرانج, واحد من خمسة أماكن حيث يحدث التوازن بين سحب جسمين وحركة الذهاب في دائرة

خمسة أماكن لوقوف السيارات في السماء، واثنان فقط منهما مجاني.

انظر

تخيل مشهد حيث الارتفاع يعني “كم من الطاقة التي تتطلبها للوجود هنا” لشيء يدور حول الشمس مع الأرض:

• اثنان عميقان آبار في الشمس وفي الأرض.
• L1 و L2: ممرتان جبليتان (سكاكين) على جانبي الأرض، على بعد حوالي 1.5 مليون كيلومتر. متوازن، ولكن فقط: دفع مركبة فضائية وسوف تنزلق. وتجري البعثات هناك تصويبات صغيرة كل بضعة أسابيع.
• L3: سيارة أخرى على الجانب البعيد من الشمس. لا شيء مفيد يذهب هناك، لأن الشمس تمنع ذلك منا.
• L4 وL5: قمتان من التلال الناعمة 60 درجة أمام الأرض وخلفها. ستتوقع أن تبدأ الأشياء بالتدحرج، لكن تأثير كوريوليس للدوران يحول الزلزال إلى حلقة. وهي مستقرة، والطبيعة تملأها: L4 و L5 للمشتري تحتوي على أكثر من عشرة آلاف Trojan كويكب.

من يعيش هناك: SOHO يراقب الشمس من L1 منذ عام 1996؛ وهو يرى العواصف الشمسية قبل أن تصل إلينا. ويعمل ويب حول L2، حيث تبقى الشمس والأرض والقمر جميعها على جانب واحد، خلف درعه الشمسي، مما يحافظ على التلسكوب عند حوالي -230 درجة مئوية.

فهمت

في الإطار الذي يدور مع الأرض، جسم صغير يشعر جاذبية الشمس وجاذبية الأرض والتأثير الطارد للخارج من الدوران. حيث كل الثلاثة إلغاء، يمكن أن تبقى ثابتة في ذلك الإطار، أي، مدار حول الشمس في سنة واحدة بالضبط.

وبالنسبة إلى L1 وL2 تكون المسافة من الجسم الأصغر هي تقريبا نصف قطر التلة:

r ≈ a · ∛(m / 3M)

بالنسبة للشمس والأرض: 149.6 مليون كم × ∛(3.04 × 10⁻⁶ / 3) ≈ 1.5 مليون كم. وحلّ التوازن بالضبط يعطي 1.49 مليون كيلومتر لـ L1 و1.51 مليون كيلومتر لـ L2.

الماجستير

في مشكلة الأجسام الثلاثة المقيدة الدائرية، مع المسافات بوحدات الانفصال و μ = m/(M+m)، تكون القدرة الفعالة هي

Ω(x, y) = - (1-μ)/r₁ - μ/r₂ - ½(x² + y²)

تقوم النقاط المتوازية بحل ∂Ω/∂x = 0 على محور السين (خماسي، يحل رقميا هنا)؛ L4 و L5 يشكلان مثلثات متساوية الجوانب مع الجسمين. ويبين تحليل الاستقرار الخطي أن L1-L3 غير مستقرة دائما، وأن L4/L5 مستقرة عندما μ < μ_Routh = ½(1 − √(23/27)) ≈ 0.0385. المركبة الفضائية في L1 وL2 تحلق halo أو Lissajous مدارات حول النقطة بدلا من الجلوس عليها.