Lagrange-punkter: balance på himlen

Et rumfartøj længere fra Solen end Jorden bør kredse om den langsommere og sakke bagud. Men James Webb Space Telescope, 1,5 millioner km fra Jorden, holder trit med os hele året rundt. Det sidder på en Lagrange-punkt, et af fem steder hvor trækkraften fra to legemer og bevægelsen af at gå rundt balancerer ud.

Fem parkeringspladser i himlen, og kun to af dem er gratis.

Se.

Forestil dig et landskab, hvor højden betyder “hvor meget energi det tager at være her” for noget, der kredser om Solen med Jorden:

• To dybe brønde på Solen og på Jorden.
• L1 og L2: to bjergpas (sadler) på hver side af Jorden, omkring 1,5 millioner km væk. Balanceret, men kun lige: skub et rumfartøj og det glider af. Missionerne der laver små korrektioner med få ugers mellemrum.
• L3: en anden sadel på den fjerne side af Solen. Intet nyttigt går der, fordi Solen blokerer det fra os.
• L4 og L5: to bølgende bakker 60 grader foran og bag Jorden. Du ville forvente, at tingene ruller af, men Coriolis-effekten af rotationen gør sliden til en løkke. De er stabile, og naturen fylder dem: Jupiters L4 og L5 rummer mere end ti tusind Trojanske asteroider.

Hvem bor der: SOHO har observeret Solen fra L1 siden 1996; den ser solstorme, før de når os. Webb arbejder omkring L2, hvor Solen, Jorden og Månen alle forbliver på den ene side bag sin solskærm, hvilket holder teleskopet ved ca. -230 °C.

Forstået.

I den ramme, der drejer med Jorden, føler et lille objekt Solens tyngdekraft, Jordens tyngdekraft og den udadgående centrifugaleffekt af rotation. Hvor alle tre annullerer, kan den forblive i denne ramme, det vil sige kredse om Solen på præcis et år.

For L1 og L2 er afstanden til det mindre legeme omtrent den samme som Hill radius:

r ≈ a · ∛(m / 3M)

For Solen og Jorden: 149,6 millioner km × ∛(3,04 × 10⁻⁶ / 3) ≈ 1,5 millioner km. Løsningen af balancen giver præcist 1,49 millioner km for L1 og 1,51 millioner km for L2.

Master

I det cirkulære begrænsede trelegemeproblem, med afstande i enheder af separationen og μ = m/(M+m), er det effektive potentiale

Ω(x, y) = −(1−μ)/r₁ − μ/r₂ − ½(x² + y²)

De kolineære punkter løser ∂Ω/∂x = 0 på x-aksen (en kvint, løst numerisk her); L4 og L5 danner ligesidede trekanter med de to legemer. Lineær stabilitetsanalyse viser, at L1-L3 altid er ustabile, og L4/L5 er stabile når μ < μ_Routh = ½(1 − √(23/27)) ≈ 0.0385. Rumfartøjer ved L1 og L2 flyver halo eller Lissajous kredsløb omkring punktet i stedet for at sidde på det.