Lagrange-punkter: balanse på himmelen

Et romfartøy som er lenger fra solen enn jorden, vil gå i bane rundt den langsommere og komme bak. Men James Webb Space Telescope, 1,5 millioner km unna Jorden, holder tritt med oss hele året. Den sitter på en Lagrange- punkt, et av fem steder hvor tiltrekningen mellom to legemer og bevegelsen av å gå rundt balanserer ut.

Fem parkeringsplasser i himmelen, og bare to av dem er gratis.

Se.

Tenk deg et landskap der høyde betyr “hvor mye energi det tar å være her” for noe som går rundt Solen med Jorden:

• To dype brønner Solen og jorden.
• L1 og L2: to fjellpass (sadler) på hver side av jorden, ca. 1,5 millioner km unna. Balansert, men bare rett: knuse et romskip og det glir av. Oppdrag der gjør små korrigeringer med noen ukers mellomrom.
• L3: en annen sadel på den andre siden av solen. Ingenting nyttig går dit, fordi Solen blokkerer det fra oss.
• L4 og L5: to myke åser 60 grader foran og bak jorden. Du forventer at ting skal rulle av, men Coriolis-effekten av rotasjonen gjør lysbildet til en sløyfe. De er stabile, og naturen fyller dem: Jupiters L4 og L5 har mer enn ti tusen Trojanske asteroider.

Hvem bor der: SOHO har observert solen fra L1 siden 1996; den ser solstormer før de når oss. Webb arbeider rundt L2, hvor Solen, Jorden og Månen alle holder seg på den ene siden, bak solskjermen, slik at teleskopet holdes ved omtrent −230 °C.

Forstår

I rammen som roterer med jorden, føler et lite objekt solens gravitasjon, jordens gravitasjon og den utvendige sentrifugaleffekten av rotasjonen. Der alle tre kansellerer, kan den forbli i det området, dvs. gå i bane rundt solen på nøyaktig ett år.

For L1 og L2 er avstanden fra det mindre legemet omtrent Hill-radiusen:

r ≈ a · ∛(m / 3M)

For solen og jorden: 149,6 millioner km × ∛(3,04 × 10⁻⁶ / 3) ≈ 1,5 millioner km. Løser man balansen nøyaktig, får man 1,49 millioner km for L1 og 1,51 millioner km for L2.

Master

I det sirkulære trelegemersproblemet, med avstander i enheter av separasjonen og μ = m/(M+m), er det effektive potensialet

Ω( x, y) = −(1−μ)/r₁ − μ/r₂ − ½(x² + y²)

De kolineære punktene løser ∂Ω/∂x = 0 på x-aksen (en kvint, løst numerisk her); L4 og L5 danner likesidede trekanter med de to legemene. Lineær stabilitetsanalyse viser at L1-L3 alltid er ustabile, og L4/L5 er stabile når μ < μ_Routh = ½(1 − √(23/27)) ≈ 0.0385. Romfartøy ved L1 og L2 fly halo eller LissajousCity in Quebec Canada Kretser rundt punktet i stedet for å sitte på den.