Puntos de Lagrange: equilibrio en el cielo

Una nave espacial más lejos del Sol que la Tierra debería circular más lentamente y quedarse atrás. Sin embargo, el Telescopio Espacial James Webb, a 1,5 millones de kilómetros más allá de la Tierra, sigue nuestro ritmo durante todo el año. Se sienta en un Punto de Lagrange, uno de los cinco lugares donde se equilibran la tracción de dos cuerpos y el movimiento de dar vueltas.

Cinco plazas de aparcamiento en el cielo, y solo dos de ellas son gratuitas.

Mira.

Imagina un paisaje donde la altura significa “cuánta energía se necesita para estar aquí” para algo que gira alrededor del Sol con la Tierra:

• Dos profundas pozos En el Sol y en la Tierra.
• L1 y L2: dos puertos de montaña (sillas de montar) en cada lado de la Tierra, a unos 1,5 millones de km de distancia. Equilibrado, pero solo justo: empujar una nave espacial y se desliza. Las misiones allí hacen pequeñas correcciones cada pocas semanas.
• L3: otra silla de montar en el lado lejano del Sol. Nada útil va allí, porque el Sol lo bloquea de nosotros.
• L4 y L5: dos colinas suaves 60 grados por delante y detrás de la Tierra. Usted esperaría que las cosas rueden, pero el efecto Coriolis de la rotación convierte la diapositiva en un bucle. Son estables, y la naturaleza los llena: los puntos L4 y L5 de Júpiter contienen más de diez mil Asteroides troianos.

Quién vive allí: SOHO ha estado observando el Sol desde L1 desde 1996; ve las tormentas solares antes de que lleguen a nosotros. Webb trabaja alrededor del punto L2, donde el Sol, la Tierra y la Luna permanecen en un lado, detrás de su pantalla solar, manteniendo el telescopio a unos −230 °C.

Entender

En el marco que gira con la Tierra, un pequeño objeto siente la gravedad del Sol, la gravedad de la Tierra y el efecto centrífugo hacia afuera de la rotación. Donde los tres cancelan, puede permanecer quieto en ese marco, es decir, orbitar el Sol en exactamente un año.

Para L1 y L2 la distancia del cuerpo más pequeño es aproximadamente la Radio de la colina:

r ≈ a · ∛(m / 3M)

Para el Sol y la Tierra: 149,6 millones de km × ∛(3,04 × 10⁻⁶ / 3) ≈ 1,5 millones de km. Resolver el equilibrio exactamente da 1,49 millones de km para L1 y 1,51 millones de km para L2.

Master

En el problema circular de tres cuerpos restringido, con distancias en unidades de la separación y μ = m/(M+m), el potencial efectivo es

Ω(x, y) = −(1−μ)/r₁ − μ/r₂ − ½(x² + y²)

Los puntos colineales resuelven ∂Ω/∂x = 0 en el eje x (una quinta, resuelta numéricamente aquí); L4 y L5 forman triángulos equiláteros con los dos cuerpos. El análisis de estabilidad lineal muestra que L1-L3 son siempre inestables, y L4/L5 son estables cuando μ < μ_Routh = ½(1 − √(23/27)) ≈ 0.0385. Las naves espaciales en L1 y L2 vuelan Halo o Lissajous Orbita alrededor del punto en lugar de sentarse sobre él.