Лагранжове тачке: равнотежа на небу

Свемирска летелица која је даље од Сунца него Земља би требало да кружи око њега спорије и да заостаје. Свемирски телескоп Џејмс Веб, који се налази на око 1.5 милиона километара од Земље, прати нас током целе године. Сједи на Лагранжова тачка, једно од пет места где се привлачење два тела и кретање у кругу изједначавају.

У парку постоји пет стаза за скијање, од којих су две у потпуности безбедне.

Погледај.

Замислите пејзаж где висина значи “колико енергије је потребно да буде овде” за нешто што се окреће око Сунца са Земљом:

• Два дубока бунара на Сунцу и Земљи.
• Л1 и Л2: два планинска превоја (седла) са обе стране Земље, удаљени око 1,5 милиона километара. Уравнотежен, али само: погађај свемирски брод и он се клизи. У њима се сваких неколико недеља врше мале корекције.
• Л3: још једно седло на далекој страни Сунца. Ништа корисно не иде тамо, јер Сунце га блокира од нас.
• Л4 и Л5: два блага брда 60 степени испред и иза Земље. Очекивао би да се ствари одвијају, али Кориолисов ефекат ротације претвара клизач у петљу. Они су стабилни, и природа их испуњава: Јупитерове L4 и L5 држати више од десет хиљада Тројански астероиди.

Ко живи тамо: СOHO посматра Сунце са Л1 од 1996. године; види соларне олује пре него што стигну до нас. Веб ради око Л2, где Сунце, Земља и Месец остају на једној страни, иза свог штита од сунца, одржавајући телескоп на температури од око −230 °C.

Разумем.

У оквиру који се окреће са Земљом, мали објекат осећа гравитацију Сунца, Земљину гравитацију и спољашњи центрифугалан ефекат ротације. Ако се све три промене, може остати у том оквиру, тј. орбитирати око Сунца за тачно једну годину.

За L1 и L2 удаљеност од мањег тела је приближно Радијус брда:

r ≈ a · ∛(m / 3M)

За Сунце и Земљу: 149,6 милиона km × ∛(3.04 × 10⁻⁶ / 3) ≈ 1,5 милиона km. Решење баланса даје тачно 1,49 милиона km за L1 и 1,51 милиона km за L2.

Господару.

У кружном ограниченом тротеловном проблему, са удаљеностима у јединицама раздвајања и μ = m/(M+m), ефективни потенцијал је

Ω(x, y) = −(1−μ)/r₁ − μ/r₂ − ½(x² + y²)

Колинеарне тачке решавају ∂Ω/∂x = 0 на x-оси (квинтика, решена нумерички овде); L4 и L5 формирају једнакостраничне троуглове са два тела. Линеарна анализа стабилности показује да су L1-L3 увек нестабилни, а L4/L5 су стабилни када је μ < μ_Routh = ½(1 − √(23/27)) ≈ 0.0385. Свемирски бродови у тачкама L1 и L2 лете хало или лисажусовом орбити око тачке, а не седе на њој.