Лагранжови точки: баланс в небето

Космически апарат, който е по-далеч от Слънцето отколкото Земята, трябва да обикаля около него по-бавно и да изостава. И все пак космическият телескоп Джеймс Уеб, на 1,5 милиона км от Земята, е в крак с нас през цялата година. Тя седи на Точка на Лагранж, едно от петте места, където привличането на две тела и движението на кръгово движение се балансират.

Пет паркоместа в небето, и само две от тях са безплатни.

Вижте.

Представете си пейзаж, където височината означава “колко енергия е необходима, за да бъде тук” за нещо, което се върти около Слънцето със Земята:

• Две дълбоки дупки кладенци на Слънцето и на Земята.
• Л1 и Л2: два планински прохода (седла) от двете страни на Земята, на около 1.5 милиона км разстояние. Балансиран, но само просто: побутнете космически кораб и той се плъзга. Мисиите там правят малки корекции на всеки няколко седмици.
• Л3: друго седло от другата страна на Слънцето. Нищо полезно не отива там, защото Слънцето го блокира от нас.
• L4 и L5: два нежни хълмисти върха на 60 градуса пред и зад Земята. Очаквате нещата да се търкалят, но ефектът на Кориолис от въртенето превръща слайда в цикъл. Те са стабилни и природата ги изпълва: L4 и L5 на Юпитер държат повече от десет хиляди астероиди. Троянски астероиди.

Кой живее там: Слънчевият телескоп наблюдава Слънцето от L1 от 1996 г., като вижда слънчевите бури преди да са достигнали до нас. Уеб работи около L2, където Слънцето, Земята и Луната остават от едната страна, зад слънчевия си екран, поддържайки телескопа на около -230 ° C.

Разбирам.

В рамката, която се върти със Земята, малък обект усеща гравитацията на Слънцето, гравитацията на Земята и външния центробежен ефект на ротацията. Когато и трите се отменят, тя може да остане неподвижна в тази рамка, т.е. да обикаля около Слънцето точно за една година.

За L1 и L2 разстоянието от по-малкото тяло е приблизително Радиус на хълма:

r ≈ a · ∛(m / 3M)

За Слънцето и Земята: 149,6 милиона км × ∛(3.04 × 10⁻⁶ / 3) ≈ 1,5 милиона км. Решението на баланса дава точно 1,49 милиона км за L1 и 1,51 милиона км за L2.

Господарю.

В кръговата ограничена задача за три тела, с разстояния в единици на разделянето и μ = m/(M+m), ефективният потенциал е

Ω(x, y) = −(1−μ)/r₁ − μ/r₂ − ½(x² + y²)

Колинеарните точки решават ∂Ω/∂x = 0 по оста x (квинтика, решена тук числено); L4 и L5 образуват равностранни триъгълници с двете тела. Линейният анализ на стабилността показва, че L1-L3 винаги са нестабилни, а L4/L5 са стабилни, когато μ < μ_Routh = ½(1 − √(23/27)) ≈ 0.0385. Космически кораби в L1 и L2 летят ореол или Лисажу орбити около точката, вместо да седи на него.