Lagrange-pontok: egyensúly az égen

A Naptól távolabb keringő űrszondák lassabban kerülik meg a Napot, és lemaradnak. Yet the James Webb Space Telescope, 1.5 million km beyond Earth, keeps pace with us all year round. It sits at a Lagrange point, one of five places where the pull of two bodies and the motion of going round balance out.

Öt parkolóhely az égen, és csak kettő közülük ingyenes.

Nézd!

Képzeljünk el egy tájat, ahol a magasság azt jelenti, hogy “mennyi energiára van szükség ahhoz, hogy itt legyünk” valaminek, ami a Földdel együtt kering a Nap körül:

• Két mély kút a Napnál és a Földnél.
• L1 és L2: két hegyi hágó (nyereg) a Föld mindkét oldalán, mintegy 1,5 millió km-re. Kiegyensúlyozott, de csak éppen: tolja meg az űrhajót, és lecsúszik. A missziók néhány hetente kisebb korrekciókat végeznek.
• L3: egy másik nyereg a Nap túlsó oldalán. Semmi hasznos nem megy oda, mert a Nap blokkolja azt előlünk.
• L4 és L5: két szelíd dombtető, 60 fokkal a Föld előtt és mögött. Azt várnánk, hogy a dolgok elgurulnak, de a forgás Coriolis-hatása miatt a csúszda hurokba fordul. Stabilak, és a természet megtölti őket: a Jupiter L4 és L5 pontjai több mint tízezer A trójai kisbolygók.

Ki lakik ott: A SOHO 1996 óta figyeli a Napot az L1-ről; meglátja a napviharok, mielőtt elérnének minket. A Webb az L2-es pont körül dolgozik, ahol a Nap, a Föld és a Hold mind egy oldalon maradnak, a napellenzője mögött, így a távcső hőmérsékletét −230 °C körül tartja.

Értsd meg.

A Földdel forgó keretben egy kis tárgy érzi a Nap gravitációját, a Föld gravitációját és a forgás kifelé irányuló centrifugális hatását. Ahol mindhárom törlésre kerül, ott a rendszerben maradhat, azaz pontosan egy év alatt keringhet a Nap körül.

Az L1 és L2 esetében a kisebb testtől való távolság nagyjából Hill sugara:

r ≈ a · ∛(m / 3M)

A Nap és a Föld esetében: 149,6 millió km × ∛(3,04 × 10⁻⁶ / 3) ≈ 1,5 millió km. A mérleg pontos megoldása 1,49 millió km-t ad az L1 és 1,51 millió km-t az L2 számára.

Mester!

A kör alakú háromtest-probléma esetében, ahol a távolságok az elválasztás egységeiben vannak megadva és μ = m/(M+m), az effektív potenciál

Ω(x, y) = −(1−μ)/r₁ − μ/r₂ − ½(x² + y²)

A kolineáris pontok megoldják az x-tengelyen a ∂Ω/∂x = 0 (quintic, itt numerikusan megoldva) problémát; L4 és L5 egyenlő oldalú háromszögeket képeznek a két testtel. A lineáris stabilitási elemzés azt mutatja, hogy az L1–L3 mindig instabil, és az L4/L5 stabil, ha μ < μ_Routh = ½(1 − √(23/27)) ≈ 0,0385. Az L1 és L2 pozícióban lévő űreszközök halogén vagy Lissajous A pont körül kering, ahelyett, hogy rajta ülne.