Punkty Lagrange'a: równowaga na niebie

Statek kosmiczny znajdujący się dalej od Słońca niż Ziemia powinien okrążać je wolniej i pozostawać w tyle. Jednak Kosmiczny Teleskop Jamesa Webba, 1,5 miliona km od Ziemi, nadąża za nami przez cały rok. Znajduje się w Punkcie Lagrange’a, jednym z pięciu miejsc, gdzie przyciąganie dwóch ciał i ruch okrążający się wyrównują.

Pięć miejsc parkingowych na niebie, a tylko dwa z nich są bezpłatne.

Spójrz.

Wyobraź sobie krajobraz, w którym wysokość oznacza “ilość energii potrzebnej do przebycia tutaj” dla czegoś, co krąży wokół Słońca z Ziemią:

• Dwie głębokie studnie Na Słońcu i na Ziemi.
• L1 i L2: dwie przełęcze górskie (siodła) po obu stronach Ziemi, oddalone o około 1,5 miliona km. Zrównoważony, ale tylko po to: popchnij statek kosmiczny i on się ześlizgnie. Misje tam dokonują małych korekt co kilka tygodni.
• L3: kolejne siodło po odległej stronie Słońca. Nic pożytecznego tam nie trafia, bo Słońce je przed nami blokuje.
• L4 oraz L5: dwa łagodne wzgórza o 60 stopni przed i za Ziemią. Spodziewałbyś się, że coś się odtoczy, ale efekt Coriolisa obrotu zamienia slajd w pętlę. Są stabilne, a natura je wypełnia: L4 i L5 Jowisza zawierają ponad dziesięć tysięcy planetoid. Trojańczycy.

Kto tam mieszka: SOHO obserwuje Słońce z L1 od 1996 roku; widzi burze słoneczne, zanim dotrą do nas. Teleskop Webb pracuje w obszarze L2, gdzie Słońce, Ziemia i Księżyc znajdują się po jednej stronie, za osłoną przeciwsłoneczną, utrzymując temperaturę około -230°C.

Rozumiem.

W ramach, które obracają się z Ziemią, mały obiekt odczuwa grawitację Słońca, grawitację Ziemi i zewnętrzny efekt odśrodkowy obrotu. Tam, gdzie wszystkie trzy anulują, może pozostać w tej ramce, czyli okrążyć Słońce dokładnie w jednym roku.

Dla L1 i L2 odległość od mniejszego ciała jest w przybliżeniu promieniem Hilla:

r ≈ a · ∛(m / 3M)

Dla Słońca i Ziemi: 149,6 mln km × ∛(3,04 × 10⁻⁶ / 3) ≈ 1,5 mln km. Rozwiązanie równowagi dokładnie daje 1,49 miliona km dla L1 i 1,51 miliona km dla L2.

Master

W kołowym zadaniu ograniczonym trzech ciał, przy odległościach w jednostkach separacji i μ = m/(M+m), potencjał efektywny jest

Ω(x, y) = −(1−μ)/r₁ − μ/r₂ − ½(x² + y²)

Punkty współliniowe rozwiązują ∂Ω/∂x = 0 na osi x (kwintyka, rozwiązana numerycznie tutaj); L4 i L5 tworzą trójkąty równoboczne z dwoma ciałami. Analiza liniowa stabilności pokazuje, że L1-L3 są zawsze niestabilne, a L4/L5 są stabilne gdy μ < μ_Routh = ½(1 − √(23/27)) ≈ 0.0385. Statki kosmiczne w punktach L1 i L2 lecą po orbitach halo lub Lissajous wokół punktu, zamiast siedzieć na nim.