Lagranžo taškai: pusiausvyra danguje

Kosminis aparatas, esantis toliau nuo Saulės nei Žemė, turėtų skrieti aplink ją lėčiau ir atsilikti. Tačiau Džeimso Vebo kosminis teleskopas, esantis 1,5 milijono kilometrų nuo Žemės, seka mus visus metus. Ji sėdi ant Lagranžo taškas, viena iš penkių vietų, kur dviejų kūnų trauka ir judėjimas eina apvaliu balansu.

Penki automobilių stovėjimo aikštelės danguje, ir tik du iš jų yra nemokamai.

Žiūrėk.

Įsivaizduokite kraštovaizdį, kuriame aukštis reiškia “kiek energijos reikia būti čia” kažkam, kas sukasi aplink Saulę su Žeme:

• Du gilūs šuliniai Saulėje ir Žemėje.
• L1 ir L2: dvi kalnų perėjos (balneliai) abiejose Žemės pusėse, maždaug už 1,5 mln. km. Subalansuotas, bet tik tiesiog: nustumti erdvėlaivį ir jis slysta. Misijos ten kas kelias savaites atlieka nedideles pataisas.
• L3: kitas balnelis tolimojoje Saulės pusėje. Ten nepatenka nieko naudingo, nes Saulė jį nuo mūsų užblokuoja.
• L4 ir L5: dvi švelnios kalvos viršūnės 60 laipsnių į priekį ir už Žemės. Jūs tikriausiai tikėtumėtės, kad viskas riedės, bet dėl sukimosi Coriolis efekto skaidrė pavirsta kilpa. Jie yra stabilūs, o gamta juos užpildo: Jupiterio L4 ir L5 turi daugiau nei dešimt tūkstančių Trojos asteroidų sąrašas.

Kas ten gyvena: SOHO stebi Saulę iš L1 nuo 1996 m.; jis mato saulės audras, kol jos mus pasiekia. Vebas dirba aplink L2 tašką, kur Saulė, Žemė ir Mėnulis yra vienoje pusėje, už jo saulės skydo, išlaikant teleskopo temperatūrą apie −230 °C.

Supratau.

Rėme, kuris sukasi su Žeme, mažas objektas jaučia Saulės gravitaciją, Žemės gravitaciją ir išorinį centrifuginį sukimosi efektą. Jei visi trys atšaukia, jis gali likti nejudėdamas tame rėmelyje, tai yra orbita aplink Saulę lygiai per metus.

L1 ir L2 atstumas nuo mažesnio kūno yra maždaug Hilo spindulys:

r ≈ a · ∛(m / 3M)

Saulės ir Žemės atstumas: 149,6 milijono km × ∛(3,04 × 10⁻⁶ / 3) ≈ 1,5 mln. km. Išsprendus balanso problemą tiksliai gauname 1,49 mln. km L1 ir 1,51 mln. km L2.

Pagrindinis

Apskritoje ribotame trijų kūnų uždavinėje, kai atstumai yra atstumu vienetais ir μ = m/(M+m), efektyvusis potencialas yra

Ω(x, y) = −(1−μ)/r₁ − μ/r₂ − ½(x² + y²)

Kollineariniai taškai išsprendžia ∂Ω/∂x = 0 x ašyje (kvintika, čia išspręsta skaitmeniškai); L4 ir L5 sudaro lygiakraščius trikampius su dviem kūnais. Tiesinė stabilumo analizė rodo, kad L1-L3 visada yra nestabili, o L4/L5 yra stabili, kai μ < μ_Routh = ½(1 − √(23/27)) ≈ 0.0385. L1 ir L2 orbitos halo arba Lisai orbitas aplink tašką, o ne sėdi ant jo.