ラグランジュ点: 天空の均衡

地球より太陽から遠い宇宙船は，太陽の周りをゆっくりと回転し，後方に落ちるべきである。 Yet the James Webb Space Telescope, 1.5 million km beyond Earth, keeps pace with us all year round. It sits at a Lagrange point, one of five places where the pull of two bodies and the motion of going round balance out.

Five parking spots in the sky, and only two of them are free of charge.

見て

地球と共に太陽の周りを回る物体の高さが「ここにいるために必要なエネルギー」を意味する景観を想像してみましょう。

• ツー・ディープ ウェルズ 太陽と地球に向かって動いています
• L1 and L2: two mountain passes (saddles) on either side of Earth, about 1.5 million km away. バランスよく ただ　宇宙船を突き落とすだけ 数週間ごとに小さな修正が行われる。
• L3太陽の向こう側にある別の鞍 太陽が私たちから遮断しているので、有用なものはそこには行かない。
• L4 and L5: two gentle hilltops 60 degrees ahead of and behind Earth. 物が転がってくると思うけど コリオリ効果で スライドはループになる They are stable, and nature fills them: Jupiter’s L4 and L5 hold more than ten thousand Trojan asteroids.

誰が住んでる？ ＳＯＨＯは1996年以来Ｌ1から太陽を観測し，太陽嵐が我々に到達する前にそれを見ている。 ウェッブは太陽、地球、月が全て一方にあるL2の周りで働き、望遠鏡を約−230°Cで保つ。

理解

地球と共に回転する枠組みでは，小さな物体は太陽の重力，地球の重力および自転の外向き遠心効果を感じる。 Where all three cancel, it can stay still in that frame, that is, orbit the Sun in exactly one year.

Ｌ1とＬ2に対して，小さな天体からの距離は大体次のようになる。 ヒル半径:

r ≈ a · ∛(m / 3M)

太陽と地球の場合、149.6百万km × ∛(3.04 × 10⁻⁶ / 3) ≈ 1.5 million km。 バランスを正確に解くと，Ｌ1は149万ｋｍ，Ｌ2は151万ｋｍである。

マスター

円形拘束三体問題において，距離の単位である距離とμ＝ｍ／（Ｍ＋ｍ）の場合，有効ポテンシャルは次のようになる。

Ω(x, y) = −(1−μ)/r₁ − μ/r₂ − ½(x² + y²)

共線点はｘ軸上で∂Ω／∂ｘ＝0を解く（ここでは数値的に解いた五次）；Ｌ4とＬ5は二つの物体と等辺三角形を形成する。 Linear stability analysis shows L1-L3 are always unstable, and L4/L5 are stable when μ < μ_Routh = ½(1 − √(23/27)) ≈ 0.0385. L1およびL2にある宇宙船は、その上に座るよりも、点の周りをハローまたはリサジョス軌道で飛ぶ。