Điểm Lagrange: cân bằng trên bầu trời

Một tàu vũ trụ xa Mặt Trời hơn Trái Đất sẽ quay quanh nó chậm hơn và bị bỏ lại phía sau. Tuy nhiên, kính thiên văn không gian James Webb, cách Trái Đất 1.5 triệu km, luôn theo sát chúng ta suốt cả năm. Nó nằm ở một điểm Lagrange, một trong năm nơi mà lực hút của hai vật thể và chuyển động đi vòng quanh cân bằng với nhau.

Năm chỗ đỗ trên trời, và chỉ có hai trong số đó là miễn phí.

Nhìn kìa.

Hãy tưởng tượng một cảnh quan mà độ cao có nghĩa là “có bao nhiêu năng lượng cần để ở đây” cho một thứ gì đó quay quanh Mặt Trời với Trái Đất:

• Hai sâu giếng ở mặt trời và Trái Đất.
• L1 và L2: hai đèo núi (nạp) ở cả hai bên Trái Đất, cách nhau khoảng 1.5 triệu km. Cân bằng, nhưng chỉ là: đẩy một con tàu và nó trượt đi. Các nhiệm vụ ở đó làm các sửa chữa nhỏ mỗi vài tuần.
• L3: một chiếc xe khác ở phía xa của Mặt Trời. Không có gì hữu ích ở đó, vì Mặt Trời ngăn chúng ta không được.
• L4 và L5: hai đỉnh đồi nhẹ nhàng 60 độ trước và sau Trái Đất. Bạn sẽ mong đợi mọi thứ sẽ lăn ra, nhưng hiệu ứng Coriolis của sự quay biến cái trượt thành một vòng tròn. Chúng ổn định, và tự nhiên đã làm đầy chúng: L4 và L5 của Sao Mộc chứa hơn mười ngàn Tiểu hành tinh Troia.

Ai sống ở đó? SOHO đã quan sát Mặt Trời từ L1 kể từ năm 1996; nó thấy các cơn bão mặt trời trước khi chúng đến được với chúng ta. Webb làm việc quanh L2, nơi Mặt Trời, Trái Đất và Mặt Trăng đều ở một bên, sau màn chắn mặt trời của nó, giữ kính thiên văn ở khoảng −230 °C.

Hiểu rồi.

Trong khung quay với Trái Đất, một vật thể nhỏ cảm nhận được trọng lực của Mặt Trời, trọng lực của Trái Đất và hiệu ứng ly tâm ra ngoài của sự tự quay. Khi cả ba đều bị hủy, nó có thể ở lại trong khung đó, tức là quay quanh Mặt Trời chính xác một năm.

Đối với L1 và L2 khoảng cách từ vật thể nhỏ hơn là xấp xỉ Bán kính đỉnh:

r ≈ a · ∛(m / 3M)

Đối với Mặt Trời và Trái Đất: 149,6 triệu km × ∛(3.04 × 10⁻⁶ / 3) ≈ 1,5 triệu km. Giải quyết cân bằng chính xác cho 1,49 triệu km cho L1 và 1,51 triệu km cho L2.

Thầy

Trong bài toán ba vật thể hạn chế tròn, với khoảng cách bằng đơn vị của sự tách biệt và μ = m/(M+m), điện thế hiệu quả là

Ω(x, y) = −(1−μ)/r₁ − μ/r₂ − ½(x² + y²)

Các điểm đồng tuyến giải quyết ∂Ω/∂x = 0 trên trục x (một quintic, được giải bằng số ở đây); L4 và L5 tạo thành tam giác cân với hai vật thể. Phân tích ổn định tuyến tính cho thấy L1-L3 luôn không ổn định, và L4/L5 là ổn định khi μ < μ_Routh = ½(1 − √(23/27)) ≈ 0.0385. Tàu vũ trụ ở L1 và L2 bay halo hoặc quỹ đạo Lisajous quanh điểm này thay vì ngồi trên nó.