Пункты Лагранжа: баланс у небе

З-за таго, што Сонца знаходзіцца далей ад планеты, чым Земля, яго рух па арбіце будзе больш павольным і ён будзе адставаць. Yet the James Webb Space Telescope, 1.5 million km beyond Earth, keeps pace with us all year round. Ён знаходзіцца ў точках Лагранжа, адным з пяці месцаў, дзе прыцягненне двух цел і рух па кругу балансуюць.

У ёй было пяць пакояў, але толькі два з іх былі ўжытыя.

Паглядзець

Уявіце сабе пейзаж, дзе вышыня азначае “колькі энергіі трэба для таго, каб быць тут” для чагосьці, што круціцца вакол Сонца з Зямлёй:

• Два глыбокія шчупа на Сонцы і на Зямлі.
• L1 and L2: two mountain passes (saddles) on either side of Earth, about 1.5 million km away. У ёй ёсць толькі адзін пункт: ён не можа быць выкарыстаны для палёту. У некаторых выпадках перыядычныя выданні выходзяць раз у некалькі месяцаў.
• L3: another saddle on the far side of the Sun. Нішто карыснае не трапляе туды, бо Сонца закрывае яго ад нас.
• L4 and L5: two gentle hilltops 60 degrees ahead of and behind Earth. Вы чакаеце, што рэчы будуць рухацца, але эфект Карыёліса кручэння ператварае слайд у петлю. They are stable, and nature fills them: Jupiter’s L4 and L5 hold more than ten thousand Trojan asteroids.

Хто там жыве: SOHO назірае за Сонцам з L1 з 1996 года; ён бачыць сонечныя буры, перш чым яны дасягнуць нас. Уэбб працуе вакол L2, дзе Сонца, Зямля і Месяц знаходзяцца з адной боку, за сонечным экранам, падтрымліваючы тэлескоп пры тэмпературы каля −230 °C.

Паразумець

У перыяд, калі Сонца знаходзіцца ў цэнтры зорнага неба, яго рух адбываецца пад уздзеяннем сілы гравітацыі Зямлі і Сонца. Калі ўсе тры сканчаюцца, то яна можа заставацца ў гэтай сістэме, гэта значыць, орбіта Сонца за адзін год.

Для L1 і L2 адлегласць да меншага цела роўная радыусу Хілла:

r ≈ a · ∛(m / 3M)

For the Sun and Earth: 149.6 million km × ∛(3.04 × 10⁻⁶ / 3) ≈ 1.5 million km. У выніку раўнавагі L1 займае 1,49 млн км і L2 — 1,51 млн км.

Галоўны

У кругавай абмежаванай задачы з трыма целамі, дзе адлегласці вызначаны ў адзінках падзелу і μ = m/(M+m), эфектыўны патэнцыял

Ω( x, y) = −( 1 − μ)/ r₁ − μ/ r₂ − ½( x² + y²)

Колінарыйныя кропкі вырашаюць ∂Ω/∂x = 0 на восі x (квінтыка, вырашана лікам тут); L4 і L5 утвараюць аднолькавабачныя трыкутнікі з двума целамі. Лінейны аналіз стабільнасці паказвае, што L1-L3 заўсёды нестабильны, а L4/L5 стабільны, калі μ < μ_Routh = ½(1 − √(23/27)) ≈ 0.0385. Космічныя апараты ў L1 і L2 лётаюць галоўнай або лісасаўскай арбітамі вакол кропкі, а не сядзяць на ёй.