نقاط لاگرانژ: تعادل در آسمان

فضاپیمایی که از خورشید دورتر باشد باید به آرامی دور آن بچرخد و عقب افتاد. با این حال تلسکوپ فضایی جیمز وب، 1.5 میلیون کیلومتر از زمین دورتر، در تمام طول سال با ما همراه است. اون توي نقطه لاگرانژ. يکي از پنج جايي که جاذبه دو جسم و حرکت چرخش به دور هم متوازن ميشه

پنج جاي پارکينگ در آسمان و فقط دو تا از اونا مجاني هستن

ببين

منظره‌ای را تصور کنید که ارتفاع به معنای «چقدر انرژی برای رسیدن به اینجا نیاز است» برای چیزی که با زمین دور خورشید می‌چرخد:

• دو تا عميق چاهها به خورشید و زمین.
• L1 و L2: دو گذرگاه کوهستانی (سوار) در هر دو طرف زمین، حدود 1.5 میلیون کیلومتر دورتر. متوازن، اما فقط: يه فضاپيما رو بزن و اون از جاش بلند ميشه. این تابع هر چند هفته یکبار اصلاحات کوچکی را انجام می‌دهد.
• L3: يه سواري ديگه در طرف ديگه ي خورشيد هيچ چيز مفيد به اونجا نمي بره چون خورشيد جلوش رو مي گيره
• L4 و L5: دو قله ي نرم 60 درجه جلوتر و عقب تر از زمين شما انتظار دارید که چیزها از جا بروند، اما اثر کوریولیس چرخش اسلاید را به یک حلقه تبدیل می‌کند. آنها پایدار هستند و طبیعت آنها را پر می‌کند: L4 و L5 مشتری بیش از ده هزار سیارک‌های تروآ.

کي اونجا زندگي ميکنه؟ از سال 1996، SOHO خورشید را از نقطهٔ L1 مشاهده می‌کند و طوفان‌های خورشیدی را قبل از رسیدن به ما می‌بیند. وبی در اطراف L2 کار می‌کند، که خورشید، زمین و ماه همگی در یک سمت قرار دارند، پشت سایبان خورشیدی خود، تلسکوپ را در حدود −230 °C نگه می‌دارد.

بفهم

در چارچوبی که با زمین می‌چرخد، یک جسم کوچک جاذبه خورشید، جاذبه زمین و اثر گریز از مرکز بیرونی چرخش را احساس می‌کند. در این حالت، هر سه سیاره می‌توانند در همان چارچوب باقی بمانند و دقیقاً یک سال به دور خورشید می‌چرخند.

برای L1 و L2 فاصله از جسم کوچکتر تقریباً برابر است با شعاع تپه:

r ≈ a · ∛(m / 3M)

برای خورشید و زمین: 149.6 میلیون کیلومتر × ∛(3.04 × 10⁻⁶ / 3) ≈ 1.5 million km. حل تعادل دقیقاً 1.49 میلیون کیلومتر برای L1 و 1.51 میلیون کیلومتر برای L2 می‌دهد.

استاد

در مسئلهٔ محدودیت دایره‌ای سه جسم، با فاصله‌ها به واحدهای جدایی و μ = m/(M+m)، پتانسیل مؤثر برابر است:

Ω(x, y) = −(1−μ)/r₁ − μ/r₂ − ½(x² + y²)

نقاط همخطی ∂Ω/∂x = 0 را در محور x حل می‌کنند (یک پنج‌گانه، که به صورت عددی در اینجا حل می‌شود)؛ L4 و L5 مثلث‌های متساوی‌الاضلاع با دو جسم را تشکیل می‌دهند. تحلیل پایداری خطی نشان می‌دهد که L1-L3 همیشه ناپایدار هستند و L4/L5 پایدار هستند وقتی μ < μ_Routh = ½(1 − √(23/27)) ≈ 0.0385. فضاپیماها در نقاط L1 و L2 به جای نشستن بر روی آن، مدارهای halo یا Lissajous را دور آن می‌چرخند.