Lagrangepunten: evenwicht in de lucht

Een ruimtevaartuig dat verder van de Zon af staat dan de Aarde zou er langzamer omheen moeten draaien en achterop raken. Toch houdt de James Webb Space Telescope, 1,5 miljoen km van de aarde verwijderd, het hele jaar door gelijke tred met ons. Het zit op een Lagrangepunt, een van de vijf plaatsen waar de aantrekkingskracht van twee lichamen en de beweging van rondgaan in evenwicht zijn.

Vijf parkeerplaatsen in de lucht, en slechts twee van hen zijn gratis.

Kijk.

Stel je een landschap voor waar hoogte betekent “hoeveel energie het kost om hier te zijn” voor iets dat rond de Zon draait met de Aarde:

• Twee diepe kutjes putten De zon en de aarde.
• L1 en L2: twee bergpassen (zadels) aan weerszijden van de aarde, ongeveer 1,5 miljoen km verwijderd. Evenwichtig, maar niet te veel: duw een ruimteschip en het glijdt weg. De missies daar maken om de paar weken kleine correcties.
• L3: nog een zadel aan de andere kant van de Zon. Er gaat niets nuttigs naar binnen, omdat de Zon het voor ons blokkeert.
• L4 en L5: twee glooiende heuveltoppen 60 graden voor en achter de Aarde. Je zou verwachten dat de dingen afrollen, maar het Coriolis-effect van de rotatie maakt de glijbaan een lus. Ze zijn stabiel en de natuur vult ze: Jupiters L4 en L5 bevatten meer dan tienduizend Trojaanse planetoïden.

Wie woont er: SOHO kijkt sinds 1996 naar de Zon vanaf L1; het ziet zonnestormen voordat ze ons bereiken. Webb werkt rond L2, waar de Zon, Aarde en Maan allemaal aan één kant achter zijn zonnescherm blijven, waardoor de telescoop op ongeveer -230 °C wordt gehouden.

Begrijp je?

In het frame dat met de aarde draait, voelt een klein object de zwaartekracht van de zon, de zwaartekracht van de aarde en het naar buiten gerichte centrifugale effect van rotatie. Waar alle drie annuleren, kan het in dat kader stil blijven, dat wil zeggen, om de Zon draaien in precies één jaar.

Voor L1 en L2 is de afstand tot het kleinere lichaam ongeveer gelijk aan de Hillstraal:

r ≈ a · ∛(m / 3M)

Voor de Zon en de Aarde: 149,6 miljoen km × ∛(3,04 × 10⁻⁶ / 3) ≈ 1,5 miljoen km. Het exact oplossen van de balans geeft 1,49 miljoen km voor L1 en 1,51 miljoen km voor L2.

Meester

In het cirkelvormige beperkte drielichamenprobleem, met afstanden in eenheden van de scheiding en μ = m/(M+m), is de effectieve potentiaal

Ω(x, y) = −(1−μ)/r₁ − μ/r₂ − ½(x² + y²)

De collineaire punten lossen op de x-as ∂Ω/∂x = 0 (een vijfde, hier numeriek opgelost); L4 en L5 vormen gelijkzijdige driehoeken met de twee lichamen. Lineaire stabiliteitsanalyse toont aan dat L1-L3 altijd onstabiel zijn, en L4/L5 stabiel zijn wanneer μ < μ_Routh = ½(1 − √(23/27)) ≈ 0.0385. Ruimtevaartuigen op L1 en L2 vliegen in een halo of Lissajous baan rond het punt, in plaats van erop te zitten.