Lagrangeove body: rovnováha na oblohe

Kozmická loď ďalej od Slnka ako Zem by mala obiehať pomalšie a zaostávať. Vesmírny teleskop Jamesa Webba, ktorý je vzdialený 1,5 milióna km od Zeme, však s nami drží krok po celý rok. Sedí na Lagrangeov bod, jedno z piatich miest, kde sa ťahanie dvoch telies a pohyb krúženia vyrovnávajú.

Päť parkovacích miest na oblohe, a len dva z nich sú zadarmo.

Pozri.

Predstavte si krajinu, kde výška znamená “koľko energie je potrebné na to, aby ste tu boli” pre niečo, čo sa otáča okolo Slnka so Zemou:

• Dve hlboké diery studne Slnko a Zem.
• L1 a L2: dva horské priesmyky (sedlá) na oboch stranách Zeme, vzdialené asi 1,5 milióna km. Vyvážený, ale len tak: tlačiť kozmickú loď a to sa kĺže. Misie tam robia malé opravy každých pár týždňov.
• L3: ďalšie sedlo na opačnej strane Slnka. Nedostáva sa tam nič užitočné, pretože Slnko nám to blokuje.
• L4 a L5: dva mierne kopce 60 stupňov pred a za Zemou. Očakávali by ste, že sa veci odkrútia, ale Coriolisov efekt rotácie zmení snímku na slučku. Sú stabilné a príroda ich napĺňa: Jupiterove L4 a L5 majú viac ako desaťtisíc trójskych asteroidov.

Kto tam žije: SOHO pozoruje Slnko z L1 od roku 1996; vidí slnečné búrky skôr, ako sa k nám dostanú. Webb pracuje okolo bodu L2, kde Slnko, Zem a Mesiac zostávajú na jednej strane za slnečným štítom, čím udržiava teplotu teleskopu okolo −230 °C.

Pochopte to.

V rámci, ktorý sa otáča so Zemou, malý objekt cíti gravitáciu Slnka, gravitáciu Zeme a vonkajší odstredivý efekt rotácie. Tam, kde všetky tri zrušia, môže zostať stále v tomto rámci, to znamená, že obieha Slnko presne za jeden rok.

Pre L1 a L2 je vzdialenosť od menšieho telesa približne Hill polomer:

r ≈ a · ∛(m / 3M)

Pre Slnko a Zem: 149,6 milióna km × ∛(3,04 × 10⁻⁶ / 3) ≈ 1,5 milióna km. Presné vyriešenie rovnováhy dáva 1,49 milióna km pre L1 a 1,51 milióna km pre L2.

Majster

V kruhovom probléme troch telies, so vzdialenosťami v jednotkách oddelenia a μ = m/(M+m), je efektívny potenciál

Ω(x, y) = −(1−μ)/r₁ − μ/r₂ − ½(x² + y²)

Kolineárne body riešia rovnicu ∂Ω/∂x = 0 na osi x (kvintická rovnica, tu vyriešená numericky); L4 a L5 tvoria rovnostranné trojuholníky s týmito dvoma telami. Lineárna analýza stability ukazuje, že L1-L3 sú vždy nestabilné a L4/L5 sú stabilné keď μ < μ_Routh = ½(1 − √(23/27)) ≈ 0.0385. Kozmické lode v bodoch L1 a L2 obiehajú okolo bodu na halo alebo Lissajousovej obežnej dráhe, namiesto toho aby sedeli na ňom.