लाग्रेंज बिन्दु: आकाश में संतुलन

पृथ्वी से सूर्य की दूरी अधिक होने के कारण इसकी परिक्रमा बहुत धीमी होती है और यह पीछे पड़ जाता है। लेकिन पृथ्वी से 1.5 मिलियन किलोमीटर दूर स्थित जेम्स वेब अंतरिक्ष दूरबीन साल भर हमारे साथ है। यह एक लाग्रेंज बिंदु पर बैठता है, जो उन पांच स्थानों में से एक है जहां दो शरीरों के खिंचाव और घूमने की गति का संतुलन बाहर होता है।

आकाश में पांच पार्किंग जगहें, और उनमें से केवल दो मुफ्त हैं.

देखो

एक परिदृश्य की कल्पना करें जहाँ ऊंचाई का अर्थ है “यहाँ होने के लिए कितनी ऊर्जा लगती है” किसी ऐसी चीज़ के लिए जो पृथ्वी के साथ सूर्य के चारों ओर घूमती है:

• सूर्य और पृथ्वी के बीच दो गहरे कुएँ हैं।
• L1 और L2: पृथ्वी के दोनों ओर दो पर्वतीय पारियाँ (सडल), लगभग 1.5 मिलियन किमी दूर। संतुलित, लेकिन केवल बस: एक अंतरिक्ष यान को धक्का और यह चला जाता है. इनमें से कुछ छोटे-छोटे उपग्रह हर साल प्रक्षेपित किये जाते हैं।
• L3: सूरज के दूरी पर एक और सीढ़ी। वहाँ कुछ भी उपयोगी नहीं जाता, क्योंकि सूरज उसे हमसे रोकता है।
• L4 और L5: पृथ्वी से 60 डिग्री आगे और पीछे दो नरम चोटियां। इसका प्रयोग एक प्रकार के ड्रम पर किया जाता है, लेकिन यह ड्रम की बजाय एक लयबद्ध ताल में बजाया जाता है। वे स्थिर हैं, और प्रकृति उन्हें भरता है: बृहस्पति के L4 और L5 दस हजार से अधिक रखते हैं ट्रोजन क्षुद्रग्रह.

वहाँ कौन रहता है: सोहो ने 1996 के बाद से L1 से सूर्य को देखा है; यह सौर तूफानों को हमें पहुंचने से पहले देखता है। वेब L2 के आसपास काम करता है, जहां सूर्य, पृथ्वी और चंद्रमा सभी एक तरफ रहते हैं, अपने सनशिल्ड के पीछे, दूरबीन को लगभग -230 डिग्री सेल्सियस पर रखते हुए।

समझा

पृथ्वी के साथ घूमने वाले फ्रेम में, एक छोटी वस्तु सूर्य के गुरुत्वाकर्षण, पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण और घूर्णन का बाहरी केंद्रापसारक प्रभाव महसूस करती है। जब ये तीनों ही रद्द हो जाते हैं, तो यह उस फ्रेम में अभी भी रह सकता है, अर्थात, एक साल में सूर्य की परिक्रमा करता है।

L1 और L2 के लिए छोटे शरीर से दूरी लगभग हिल त्रिज्या है:

r ≈ a · ∛(m / 3M)

सूर्य और पृथ्वी के लिए: 149.6 मिलियन किमी × ∛ (3.04 × 10⁻⁶ / 3) ≈ 1.5 मिलियन किमी। समीकरण को ठीक से हल करने पर L1 के लिए 1.49 मिलियन किमी और L2 के लिए 1.51 मिलियन किमी प्राप्त होता है।

मास्टर

परिपथ में तीन-अंगों की समस्या में, दूरियों को अलगाव के इकाइयों में और μ = m/(M+m) के साथ, प्रभावी संभाव्यता है।

Ω( x, y) = −(1−μ)/r₁ − μ/r₂ − ½(x² + y²)

समरेखीय बिंदु x-अक्ष पर ∂Ω/∂x =0(एक क्विंटिक, यहाँ संख्यात्मक रूप से हल किया गया) को हल करते हैं; L4 और L5 दोनों निकायों के साथ समद्विबाहु त्रिकोण बनाते हैं। रैखिक स्थिरता विश्लेषण से पता चलता है कि L1-L3 हमेशा अस्थिर होते हैं और L4/L5 तब स्थिर होते हैं जब μ < μ_Routh = ½(1 − √(23/27)) ≈ 0.0385। L1 और L2 पर अंतरिक्ष यान इस बिंदु पर बैठने के बजाय हेलो या लिसाजोस बिंदु के चारों ओर परिक्रमा करते हैं।