Точки Лагранжа: равновесие в небе

Космический аппарат, находящийся дальше от Солнца, чем Земля, должен будет обращаться вокруг него медленнее и отставать. Тем не менее, космический телескоп Джеймса Уэбба, находящийся в 1,5 миллиона км от Земли, следит за нами круглый год. Он сидит на Точка Лагранжа, одно из пяти мест, где притяжение двух тел и движение по кругу балансируют.

Пять парковочных мест в небе, и только два из них бесплатные.

Посмотри.

Представьте себе ландшафт, где высота означает “сколько энергии требуется для того, чтобы быть здесь” для чего-то, что вращается вокруг Солнца с Землей:

• Две глубокие скважины на Солнце и на Земле.
• L1 и L2: два горных перевала (седла) по обе стороны Земли, на расстоянии около 1,5 млн км. Сбалансированный, но только просто: толкнуть космический корабль и он скользит. Миссии в этих странах каждые несколько недель вносят небольшие коррективы.
• L3: еще одно седло на дальней стороне Солнца. Ничего полезного туда не попадает, потому что Солнце блокирует его от нас.
• L4 и L5: две мягкие вершины холмов на расстоянии 60 градусов впереди и позади Земли. Можно было бы ожидать, что вещи будут катиться, но эффект Кориолиса от вращения превращает слайд в петлю. Они стабильны, и природа их заполняет: в точках L4 и L5 Юпитера находится более десяти тысяч троянских астероидов.

Кто там живет: SOHO наблюдает за Солнцем с L1 с 1996 года; он видит солнечные бури, прежде чем они достигают нас. Уэбб работает вокруг L2, где Солнце, Земля и Луна находятся с одной стороны, за его солнечным экраном, поддерживая телескоп при температуре около −230 °C.

Понимаю

В кадре, который вращается с Землей, небольшой объект чувствует гравитацию Солнца, гравитацию Земли и центробежное вращение вокруг своей оси. Там, где все три отменяются, она может оставаться в этом режиме, то есть орбитировать вокруг Солнца ровно за один год.

Для L1 и L2 расстояние от меньшего тела примерно равняется радиусу Хилла:

r ≈ a · ∛(m / 3M)

Для Солнца и Земли: 149,6 миллионов км × ∛(3,04 × 10⁻⁶ / 3) ≈ 1,5 миллиона км. Точное решение баланса дает 1,49 млн. км для L1 и 1,51 млн. км для L2.

Мастер

В круговой ограниченной задаче трех тел, с расстояниями в единицах разделения и μ = m/(M+m), эффективный потенциал

Ω(x, y) = −(1−μ)/r₁ − μ/r₂ − ½(x² + y²)

Коллинейные точки решают ∂Ω/∂x = 0 на оси x (квинтик, решённый здесь численно); L4 и L5 образуют равносторонние треугольники с двумя телами. Линейный анализ стабильности показывает, что L1-L3 всегда неустойчивы, а L4/L5 стабильны, когда μ < μ_Routh = ½(1 − √(23/27)) ≈ 0.0385. Космические аппараты в точках L1 и L2 летают по орбитам гало или Лиссажуса вокруг точки, а не сидят на ней.