Lagrangeove točke: ravnoteža na nebu

Svemirska letjelica koja je dalje od Sunca nego Zemlja trebala bi kružiti oko njega sporije i zaostajati. Svemirski teleskop James Webb, koji se nalazi 1,5 milijuna km od Zemlje, prati nas tijekom cijele godine. Sjedi na Lagrangeova točka, jedno od pet mjesta gdje se uravnotežuje privlačenje dvaju tijela i kretanje kružnog gibanja.

Pet parkirnih mjesta na nebu, a samo dva od njih su besplatna.

Gledaj.

Zamislite krajolik gdje visina znači “koliko je energije potrebno da se bude ovdje” za nešto što se okreće oko Sunca sa Zemljom:

• Dva duboka bunari Na Suncu i na Zemlji.
• L1 i L2: dva planinska prijevoja (sedla) na obje strane Zemlje, udaljena oko 1,5 milijuna km. Uravnotežen, ali samo: gurnite svemirsku letjelicu i ona sklizne. Misije tamo rade male korekcije svakih nekoliko tjedana.
• L3: još jedno sedlo na dalekoj strani Sunca. Ništa korisno ne ide tamo, jer Sunce ga blokira od nas.
• L4 i L5: dva blaga brda 60 stupnjeva ispred i iza Zemlje. Očekivali biste da se stvari odmotaju, ali Coriolisov učinak rotacije pretvara slajd u petlju. Oni su stabilni, a priroda ih ispunjava: Jupiterovi L4 i L5 drže više od deset tisuća Trojanskih asteroida.

Tko tamo živi: SOHO promatra Sunce s L1 od 1996. godine; vidi solarne oluje prije nego što dođu do nas. Webb radi oko L2, gdje Sunce, Zemlja i Mjesec svi ostaju na jednoj strani, iza svog sunčevog štita, držeći teleskop na oko -230 °C.

Razumijem.

U okviru koji se okreće sa Zemljom, mali objekt osjeća gravitaciju Sunca, Zemljine gravitacije i vanjski centrifugalni učinak rotacije. Ako se sve tri promjene ponište, ona može ostati u tom okviru, odnosno orbitirati oko Sunca za točno jednu godinu.

Za L1 i L2 udaljenost od manjeg tijela je otprilike Hill radijus:

r ≈ a · ∛(m / 3M)

Za Sunce i Zemlju: 149,6 milijuna km × ∛(3,04 × 10⁻⁶ / 3) ≈ 1,5 milijuna km. Točno rješavanje ravnoteže daje 1,49 milijuna km za L1 i 1,51 milijun km za L2.

Gospodaru.

U kružnom ograničenom problemu s tri tijela, s udaljenostima u jedinicama razdvajanja i μ = m/(M+m), efektivni potencijal je

Ω(x, y) = −(1−μ)/r₁ − μ/r₂ − ½(x² + y²)

Kolinearne točke rješavaju ∂Ω/∂x = 0 na x-osi (kvintika, riješena numerički ovdje); L4 i L5 formiraju jednakostranične trokute s dva tijela. Linearna analiza stabilnosti pokazuje da su L1-L3 uvijek nestabilni, a L4/L5 su stabilni kada je μ < μ_Routh = ½(1 − √(23/27)) ≈ 0.0385. Svemirski letovi u L1 i L2 Halo. ili Lissajous orbite oko točke, a ne sjediti na njemu.