Lagrangeovy body: rovnováha na obloze

Kosmická loď, která je dále od Slunce než Země, by měla obcházet pomaleji a zůstávat pozadu. Vesmírný dalekohled Jamese Webba, který je vzdálen 1,5 milionu km od Země, s námi drží krok po celý rok. Sedí na Lagrangeův bod, jedno z pěti míst, kde se tažení dvou těles a pohyb kolem sebe vyrovnávají.

Pět parkovacích míst na obloze, a jen dva z nich jsou zdarma.

Podívejte se.

Představte si krajinu, kde výška znamená “kolik energie je potřeba k tomu, abyste zde byli” pro něco, co se otáčí kolem Slunce se Zemí:

• Dvě hluboké study na Slunci a na Zemi.
• L1 a L2: dva horské průsmyky (sedla) na obou stranách Země, vzdálené asi 1,5 milionu km. Vyvážený, ale jen tak: zatlačte na kosmickou loď a ona sklouzne. Mise tam dělají malé opravy každých pár týdnů.
• L3: další sedlo na opačné straně Slunce. Nic užitečného tam nemůže jít, protože Slunce nám to blokuje.
• L4 a L5: dva mírné kopce o 60 stupňů před a za Zemí. Očekávali byste, že se věci odvalí, ale Coriolisův efekt rotace změní skluzavku na smyčku. Jsou stabilní a příroda je naplňuje: Jupiterovy body L4 a L5 obsahují více než deset tisíc Trojských asteroidů.

Kdo tam žije: SOHO pozoruje Slunce z L1 od roku 1996; vidí sluneční bouře dříve, než se k nám dostanou. Webb pracuje v L2, kde Slunce, Země a Měsíc zůstávají na jedné straně za sluneční clonou, čímž udržuje teplotu dalekohledu kolem −230 °C.

Pochopte to.

V rámci, který se otáčí se Zemí, malý objekt cítí gravitaci Slunce, gravitaci Země a vnější odstředivý efekt rotace. Tam, kde všechny tři zrušují, může zůstat v tomto rámci, to znamená obíhat Slunce přesně za jeden rok.

Pro L1 a L2 je vzdálenost od menšího tělesa zhruba Hillův poloměr:

r ≈ a · ∛(m / 3M)

Pro Slunce a Zemi: 149,6 milionu km × ∛(3,04 × 10⁻⁶ / 3) ≈ 1,5 milionu km. Přesné vyřešení rovnováhy dává 1,49 milionu km pro L1 a 1,51 milionu km pro L2.

Mistr

V kruhovém problému tří těles, se vzdálenostmi v jednotkách oddělení a μ = m/(M+m), je efektivní potenciál

Ω(x, y) = −(1−μ)/r₁ − μ/r₂ − ½(x² + y²)

Kolineární body řeší ∂Ω/∂x = 0 na ose x (kvintická funkce, zde řešená numericky); L4 a L5 tvoří rovnostranné trojúhelníky s oběma tělesy. Lineární analýza stability ukazuje, že L1-L3 jsou vždy nestabilní a L4/L5 jsou stabilní, když μ < μ_Routh = ½(1 − √(23/27)) ≈ 0.0385. Kosmické lodě v bodech L1 a L2 létají kolem bodu na halo nebo Lissajousových oběžných drahách, místo aby seděly na něm.