Velocidade orbital: a equação vis-viva

A que velocidade se move uma nave espacial? Diga-me a que distância está do planeta e quão grande é a sua órbita, e uma pequena equação responde à pergunta em qualquer lugar ao longo da sua trajetória. Os planejadores de missões usam-no todos os dias.

Uma equação curta dá a velocidade em qualquer lugar ao longo de uma órbita.

Olha.

Qualquer coisa em órbita está sempre trocando altura por velocidade, como um skatista em um half-pipe.

• Caindo mais perto do corpo central, ele acelera.
• Subindo para longe, ele diminui a velocidade.

Na sandbox a seta amarela mostra a velocidade: seta longa, rápido; seta curta, lento. Veja-o crescer à medida que o corpo entra e encolher à medida que sai.

A Terra faz a mesma coisa, apenas de forma suave porque sua órbita é quase circular: ela se move cerca de 30,3 km/s no início de janeiro e cerca de 29,3 km/s no início de julho.

Entenda.

A equação vis-viva (“força viva”, uma palavra antiga para energia) dá a velocidade em qualquer ponto:

v = √( μ · (2/r − 1/a) )

• v: velocidade
• μ: o parâmetro gravitacional do corpo central (GM)
• r: distância atual do centro do corpo central
• a: semi-eixo maior da órbita

Confira isso:

• Círculo (r = a): v = √(μ/a). Essa é a velocidade circular da lição de Newton.
• No perépsi, r é menor, então 2/r é maior e v é mais rápido.
• Muito longe em um caminho de fuga (A → ∞): v = √(2μ/r). Essa é a velocidade de fuga, coberta na próxima lição.

Exemplo trabalhado: Terra em torno do Sol, μ = 1.327 × 10¹¹ km³/s², a = 149,6 milhões de km. No afelio r = 152,1 milhões de km:

v = √(1,327 × 10¹¹ × (2/1,521 × 10⁸ − 1/1,496 × 10⁹)) ≈ 29,3 km/s.

Mestre

Vis-viva é conservação de energia disfarçada. A energia orbital específica (energia por quilograma) é

ε = v²/2 − μ/r = −μ / (2a)

A energia cinética mais potencial é constante ao longo da órbita e depende apenas de a. Resolva para v e você obtém vis-viva. Consequências:

• O sinal de ε classifica a órbita: negativo para elipses, zero para uma parábola, positivo para uma hipérbole.
• Em qualquer distância dada, a velocidade sozinha determina a. É por isso que uma única queima de motor em um ponto muda o tamanho de toda a órbita, e porque as próximas lições podem falar sobre orçamentos delta-v.

As velocidades da ápsis seguem de vis-viva com r = a(1 ± e):

v_p = √(μ/a · (1+e)/(1−e)),   v_a = √(μ/a · (1−e)/(1+e))

Seu produto é v_p · v_a = μ/a = v_circ², então a velocidade circular é a média geométrica dos dois, não a média aritmética. Isso responde à pergunta Experimente.