କକ୍ଷୀୟ ବେଗ: vis- viva ସମୀକରଣ

ଏକ ମହାକାଶଯାନ କେତେ ବେଗରେ ଗତି କରୁଛି? ମୋତେ କୁହନ୍ତୁ ଯେ ଏହା ଗ୍ରହରୁ କେତେ ଦୂର ଏବଂ ଏହାର କକ୍ଷପଥ କେତେ ବଡ଼, ଗୋଟିଏ ଛୋଟ ସମୀକରଣରେ ଏହାର ପଥରେ କେଉଁଠି ପ୍ରଶ୍ନର ଉତ୍ତର ମିଳିବ । ମିଶନ ଯୋଜନାକାରୀମାନେ ଏହାକୁ ପ୍ରତିଦିନ ବ୍ୟବହାର କରୁଛନ୍ତି ।

ଗୋଟିଏ ସରୁ ସମୀକରଣ ଏକ କକ୍ଷପଥରେ ଯେକୌଣସି ସ୍ଥାନରେ ବେଗ ଦେଇଥାଏ ।

ଦେଖନ୍ତୁ

କକ୍ଷପଥରେ ଥିବା ସବୁକିଛି ସର୍ବଦା ଉଚ୍ଚତାକୁ ଗତି ପାଇଁ ବଦଳାଇଥାଏ, ଯେପରିକି ଏକ ହଫ-ପାଇନ ଉପରେ ଥିବା ସ୍କୋଟବୋର୍ଡର ।

• କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ଅଂଶ ପାଖକୁ ଆସିବା ମାତ୍ରେ ଏହା ଦ୍ରୁତ ଗତିରେ ବଢ଼ିଥାଏ ।
• ଦୂରକୁ ଚଢ଼ିବା ଦ୍ୱାରା ଏହା ଧିରେ ହୋଇଯାଏ ।

In the sandbox the yellow arrow shows the speed: long arrow, fast; ସୀମିତ ତୀର, ଧିରେ। ଶରୀରର ସ୍ତନ ବଢିବାରେ ଏବଂ ବାହାରକୁ ଉଠିବା ବେଳେ ସଙ୍କୋଚିତ ହେବାରେ ଦେଖନ୍ତୁ ।

ପୃଥିବୀ ମଧ୍ୟ ସେହିଭଳି କାମ କରେ, ମାତ୍ର ଏହା ଅତି ନିରୀହ କାରଣ ଏହାର କକ୍ଷପଥ ପ୍ରାୟ ବର୍ଗ ଆକାରର: ଜାନୁଆରୀ ଆରମ୍ଭରେ ଏହା 30.3 କିମି/ସେକଣ୍ଡ ବେଗରେ ଗତି କରିଥାଏ ଏବଂ ଜୁଲାଇ ଆରମ୍ଭରେ 29.3 କିମି/ସେକଣ୍ଡ ବେଗରେ ଗତି କରିଥାଏ।

ବୁଝିବା

vis-viva ସମୀକରଣ (“ଜୀବନଶକ୍ତି”, ଶକ୍ତି ପାଇଁ ଗୋଟିଏ ପୁରୁଣା ଶବ୍ଦ) କୌଣସି ବିନ୍ଦୁରେ ବେଗ ଦେଇଥାଏ:

v = √( μ · (2/r − 1/a) )

• ଗତି
• μ: କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ବସ୍ତୁର ଗ୍ରହଣୀୟ ପରିମାପ (GM)
• r: କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ଶରୀରର କେନ୍ଦ୍ରରୁ ବର୍ତ୍ତମାନ ଦୂରତା
• a: କକ୍ଷପଥର ଅର୍ଦ୍ଧ-ମହାତ୍ମ ଅକ୍ଷ

ଯାଞ୍ଚ କରନ୍ତୁ:

• ଭୃଙ୍ଗ (r =a): v = √(μ/a). ଏହା ହେଉଛି ନ୍ୟୁଟନ ପାଠରୁ ଗ୍ରହର ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ଗତି ।
• Periapsis ରେ, r ସବୁଠୁ ଛୋଟ, ତେଣୁ2/r ସବୁଠାରୁ ବଡ଼ ଏବଂ v ସବୁଠୁ ଶୀଘ୍ର।
• ଏକ ପଳାୟନ ପଥରେ ବହୁତ ଦୂର (a → ∞): v = √(2μ/r). ଏହା ହେଉଛି ପଳାୟନ ବେଗ, ଯାହାକି ପରବର୍ତ୍ତୀ ପାଠରେ ବର୍ଣ୍ଣନା କରାଯିବ ।

Worked example: Earth around the Sun, μ = 1.327 × 10¹¹ km³/s², a = 149.6 million km. ଅକ୍ଷୟ r = 152.1 ମିଲିୟନ କିଲୋମିଟର:

v = √(1.327 × 10¹¹ × (2/1.521 × 10⁸ − 1/1.496 × 10⁹)) ≈ 29.3 କିଲୋମିଟର ପ୍ରତି ସେକେଣ୍ଡ ।

ମାଷ୍ଟର

ବିସ୍-ଭିଭା ହେଉଛି ଶକ୍ତି ସଂରକ୍ଷଣର ଏକ ପରିଚୟ । ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ କକ୍ଷୀୟ ଶକ୍ତି (ପ୍ରତି କିଲୋଗ୍ରାମ ଶକ୍ତି) ହେଉଛି

ε = v²/2 − μ/r = −μ / (2a)

ଚଳନ ଶକ୍ତି ଏବଂ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଶକ୍ତି କକ୍ଷପଥରେ ନିରନ୍ତର ରହିଥାଏ ଏବଂ କେବଳ a ଉପରେ ନିର୍ଭର କରିଥାଏ । v ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଆପଣ vis-viva ପାଇବେ । ପରିଣାମ:

• ε ର ସଂକେତ କକ୍ଷପଥକୁ ଶ୍ରେଣୀବଦ୍ଧ କରେ: ବୃହତ୍ତୋଦୟ ପାଇଁ ଋଣାତ୍ମକ, ପରାବଳୀ ପାଇଁ ଶୂନ୍ୟ, ହାଇପରବୋଲ ପାଇଁ ଯୁକ୍ତାତ୍ମକ।
• କୌଣସି ଦୂରତାରେ, କେବଳ ବେଗ aକୁ ନିର୍ଦ୍ଧାରଣ କରେ । ଏଥିପାଇଁ ଗୋଟିଏ ଇଞ୍ଜିନ ଏକ ବିନ୍ଦୁରେ ଜଳିବା ଦ୍ୱାରା ସମଗ୍ର କକ୍ଷପଥର ଆକାର ବଦଳିଯାଏ ଏବଂ ଏଥିପାଇଁ ପରବର୍ତ୍ତୀ ପାଠ ଡେଲଟା-ଭି ବଜେଟ ବିଷୟରେ କହିପାରିବ ।

r =a(1 ± e) ସହିତ vis-viva ରୁ ଆପ୍ସିସ ବେଗ ଅନୁସରଣ କରନ୍ତୁ:

v_p = √(μ/a · (1+e)/(1−e)),   v_a = √(μ/a · (1−e)/(1+e))

ସେମାନଙ୍କର ଉତ୍ପାଦ v_p · v_a = μ/a = v_circ², ତେଣୁ ବୃତ୍ତ ଗତି ଦୁଇଟିର ଜ୍ୟୋତିଷୀୟ ମଧ୍ଯମ ଅଟେ, ନହେଲେ ଗଣିତ ମଧ୍ଯମ । ଏହା ଦ୍ୱାରା Try It ପ୍ରଶ୍ନର ଉତ୍ତର ମିଳିଛି ।