Орбітальна швидкість: рівняння vis- viva

Наскільки швидко рухається космічний корабель? Скажи мені, наскільки далеко він від планети і якою є його орбіта, і одне коротке рівняння відповість на питання в будь-якому місці на його шляху. Планувальники місій використовують його щодня.

Одне коротке рівняння дає швидкість в будь-якому місці орбіти.

Дивіться.

Все на орбіті завжди обмінює висоту на швидкість, як скейтбордист на хафпайпі.

• Падаючи ближче до центрального тіла, він прискорюється.
• Коли йдеш, вона сповільнюється.

У піщинному полі жовта стрілка показує швидкість: довга стрілка — швидко, коротка — повільно. Посмотри, как она растет, когда тело входит и уменьшается, когда оно выходит.

Земля робить те ж саме, тільки повільніше, тому що її орбіта майже кругова: вона рухається приблизно 30,3 км/с на початку січня і близько 29,3 км/с на початку липня.

Розумію

Рівняння vis- viva (« живуча сила », старе слово для енергії) дає швидкість у будь- якій точці:

v = √( μ · (2/r − 1/a) )

• v: швидкість
• μ: гравітаційний параметр центрального тіла (GM)
• r: поточна відстань від центру центрального тіла
• a: велика напівось орбіти

Перевірте:

• Коло (Р=а): v = √(μ/a). Це швидкість обертання з уроку Ньютона.
• У перигелії, r є найменшим, отже 2/ r є найбільшим і v є найшвидшим.
• Дуже далеко на шляху втечі (a → ∞): v = √(2μ/r). Це швидкість утечі, про яку буде розповідено на наступному уроку.

Робочий приклад: Земля навколо Сонця, μ = 1.327 × 10¹¹ км³/с², a = 149.6 мільйонів км. В афелії r = 152.1 мільйонів км:

v = √(1.327 × 10¹¹ × (2/1.521 × 10⁸ − 1/1.496 × 10⁸)) ≈ 29.3 km/s.

Майстер

Vis-viva - це збереження енергії в маскі. Унікальна орбітальна енергія (енергія на кілограм) дорівнює

ε = v²/ 2 − μ/ r = −μ / (2a)

Кінетична плюс потенційна енергія є сталою вздовж орбіти і залежить лише від a. Розв’яжіть для v і ви отримаєте vis-viva. Наслідки:

• Знак **** від ε класифікує орбіту: негативний для еліпсів, нуль для парабол, позитивний для гіпербол.
• На будь-якій заданій відстані, швидкість сама по собі визначає a. Ось чому один двигун горить в одній точці змінює розмір всієї орбіти, і чому наступні уроки можуть говорити про бюджети delta-v.

Швидкості апсиди випливають з vis- viva з r = a( 1 ± e):

v_ p = √( μ/ a · (1+e) / (1−e)),   v_ a = √( μ/ a · (1−e) / (1+e))

Їх добуток є v_p · v_a = μ/a = v_circ², тому швидкість обертання є геометричним середнім цих двох величин, а не середнім арифметичним. Це відповідь на питання “Спробуй”.