Orbital spoed: die vis- viva vergelyking

Hoe vinnig beweeg ‘n ruimtevaartuig? Vertel my hoe ver dit van die planeet af is en hoe groot sy baan is, en een kort vergelyking beantwoord die vraag ooral langs sy pad. Missie beplanners gebruik dit elke dag.

Een kort vergelyking gee die spoed enige plek langs ‘n baan.

Kyk

Alles in ‘n baan is altyd hoogte vir spoed, soos ‘n skaatsplank op ‘n halfpyp.

• Dit versnel namate dit nader aan die sentrale liggaam val
• As jy wegklim, vertraag dit

In die sandkas vertoon die geel pyltjie die spoed: lang pyltjie, vinnig; kort pyltjie, stadig. Kyk hoe dit groei terwyl die liggaam inswaai, en krimp as dit uitklim

Die Aarde doen dieselfde, net sag omdat sy baan byna sirkelvormig is: dit beweeg ongeveer 30.3 km/s in vroeë Januarie en ongeveer 29.3 km/s in vroeë Julie.

Verstaan

Die vis-viva vergelyking (“lewende kracht”, ‘n ou woord vir energie) gee die spoed op enige punt:

v = √( μ · (2/r − 1/a) )

• v: spoed
• m: die sentrale liggaam se gravitasionele parameter (GM)
• r: huidige afstand van die middelpunt van die sentrale liggaam
• a: semi- groot as van die baan

Bevestig dit:

• Sirkel (r = a): v = √(μ/a). Dit is die sirkelsnelheid van die Newton-les.
• Op perihelium, r is kleinste, dus 2/r is grootste en v is vinnigste.
• Verre weg op ‘n ontsnappingspad (a → ∞): v = √(2μ/r). Dit is die ontsnapping spoed, behandel in die volgende les.

Werkvoorbeeld: Aarde om die Son, μ = 1.327 × 10¹¹ km³/s², a = 149.6 miljoen km. At aphelion r = 152.1 million km:

v = √(1.327 × 10¹¹ × (2/1.521 × 10⁸ − 1/1.496 × 10⁸)) ≈ 29.3 km/s.

Meester

Vis-viva is energiebesparing in vermomming Die spesifieke orbitale energie (energie per kilogram) is

ε = v²/2 − μ/r = −μ / (2a)

Kinetiese plus potensiële energie is konstant langs die baan en hang slegs af van a. Los vir v op en jy kry vis-viva. Konsekwensies:

• Die teken van ε klassifiseer die baan: negatief vir ellipse, nul vir ‘n parabola, positief vir’ n hiperbola.
• Op enige gegewe afstand, die spoed alleen bepaal a. Dit is waarom ‘n enkele enjin brand op een punt verander die grootte van die hele baan, en waarom die volgende lesse kan praat oor delta-v begrotings.

Apsis spoed volg van vis- viva met r = a( 1 ± e):

v_p = √(μ/a · (1+e)/(1−e)),   v_a = √(μ/a · (1−e)/(1+e))

Die produk is v_p · v_a = μ/a = v_circ², dus die sirkelsnelheid is die geometriese gemiddelde van die twee, nie die rekenkundige gemiddelde nie. Dit beantwoord die Probeer dit vraag.