Orbitálna rýchlosť: rovnica vis-viva

Ako rýchlo sa pohybuje kozmická loď? Povedzte mi, ako ďaleko je od planéty a aká veľká je jej obežná dráha a jedna krátka rovnica odpovie na otázku kdekoľvek pozdĺž jej dráhy. Plánovači misií ju používajú každý deň.

Jedna krátka rovnica udáva rýchlosť kdekoľvek pozdĺž obežnej dráhy.

Pozri.

Všetko na obežnej dráhe vždy vymieňa výšku za rýchlosť, ako skateboardista na halfpipe.

• Priblíži sa k centrálnemu telu a zrýchľuje.
• Keď sa odtiaľto vylieza, spomaľuje.

V pieskovisku žltá šípka ukazuje rýchlosť: dlhá šípka, rýchla; krátka šípka, pomalá. Sledujte, ako rastie, keď sa telo zavesí a zmenšuje sa, keď vylieza von.

Zem robí to isté, len jemnejšie, pretože jej obežná dráha je takmer kruhová: pohybuje sa rýchlosťou okolo 30,3 km/s začiatkom januára a okolo 29,3 km/s začiatkom júla.

Pochopte to.

Rovnica vis-viva (“živá sila”, staré slovo pre energiu) udeľuje rýchlosť v ľubovoľnom bode:

v = √( μ · (2/r − 1/a) )

• v: rýchlosť
• μ: gravitačný parameter centrálneho telesa (GM)
• r: aktuálna vzdialenosť od stredu centrálneho telesa
• a: veľká poloos obežnej dráhy

Pozrite sa na to:

• Kruh (r = a): v = √(μ/a). To je kruhová rýchlosť z Newtonovej lekcie.
• V periapsise, r je najmenší, takže 2/r je najväčší a v je najrýchlejší.
• Veľmi ďaleko na únikové cesty (a → ∞): v = √(2μ/r). To je úniková rýchlosť, o ktorej sa budeme baviť v ďalšej lekcii.

Worked example: Earth around the Sun, μ = 1.327 × 10¹¹ km³/s², a = 149.6 million km. V aphelion r = 152,1 milióna km:

V = √(1,327 × 10¹¹ × (2/1,521 × 10⁸ − 1/1,496 × 10⁹)) ≈ 29,3 km/s.

Majster

Vis-viva je ochrana energie v prestrojení. Špecifická orbitálna energia (energia na kilogram) je

ε = v²/2 − μ/r = −μ / (2a)

Kinetická energia a potenciálna energia sú konštantné pozdĺž obežnej dráhy a závisia len od a. Riešenie pre v a dostanete vis-viva. Dôsledky:

• The sign of ε classifies the orbit: negative for ellipses, zero for a parabola, positive for a hyperbola.
• Pri akejkoľvek danej vzdialenosti určuje rýchlosť sama o sebe hodnotu a. To je dôvod, prečo jeden motor spáliť v jednom bode mení veľkosť celej obežnej dráhy, a prečo ďalšie lekcie môžu hovoriť o delta-v rozpočty.

Rýchlosti apsis vyplývajú z vis-viva s r = a(1 ± e):

v_p = √(μ/a · (1+e)/(1−e)),   v_a = √(μ/a · (1−e)/(1+e))

Ich súčin je v_p · v_a = μ/a = v_circ², takže kruhová rýchlosť je geometrický priemer týchto dvoch, nie aritmetický priemer. To odpovedá na otázku Vyskúšajte to.