Umlaufgeschwindigkeit: die Vis-Viva-Gleichung

Wie schnell bewegt sich ein Raumschiff? Sagen Sie mir, wie weit er vom Planeten entfernt ist und wie groß seine Umlaufbahn ist, und eine kurze Gleichung beantwortet die Frage überall auf seiner Bahn. Missionsplaner nutzen es jeden Tag.

Eine kurze Gleichung gibt die Geschwindigkeit überall entlang einer Umlaufbahn.

Look

Alles in der Umlaufbahn tauscht immer Höhe gegen Geschwindigkeit, wie ein Skateboarder auf einer Halfpipe.

• Näher am zentralen Körper fallend, beschleunigt es sich.
• Klettert man weg, verlangsamt es sich.

Im Sandkasten zeigt der gelbe Pfeil die Geschwindigkeit an: langer Pfeil, schnell; kurzer Pfeil, langsam. Beobachten Sie, wie es wächst, wenn der Körper einschwingt und schrumpft, wenn er herausklettert.

Die Erde tut dasselbe, nur sanft, weil ihre Umlaufbahn fast kreisförmig ist: Sie bewegt sich Anfang Januar mit etwa 30,3 km/s und Anfang Juli mit etwa 29,3 km/s.

Understand

Die vis-viva-Gleichung (“lebende Kraft”, ein altes Wort für Energie) gibt die Geschwindigkeit an einem beliebigen Punkt:

v = √( μ · (2/r − 1/a) )

• v: Geschwindigkeit
• μ: der Gravitationsparameter des Zentralkörpers (GM)
• r: aktueller Abstand vom Zentrum des Mittelkörpers
• a: Großhalbachse der Umlaufbahn

Überprüfen Sie es:

• Kreis (r = a): v = √(μ/a). Das ist die Kreisgeschwindigkeit aus der Newton-Lektion.
• Bei der Periapsis, r ist am kleinsten, also ist 2/r am größten und v am schnellsten.
• Sehr weit weg auf einem Fluchtweg (a → ∞): v = √(2μ/r). Das ist die Fluchtgeschwindigkeit, die in der nächsten Lektion behandelt wird.

Gearbeitetes Beispiel: Erde um die Sonne, μ = 1,327 × 10¹¹ km³/s², a = 149,6 Millionen km. Im Aphelium r = 152,1 Millionen km:

v = √(1,327 × 10¹¹ × (2/1,521 × 10⁸ − 1/1,496 × 10⁹)) ≈ 29,3 km/s.

Master

Vis-viva ist Energieeinsparung in Verkleidung. Die spezifische Orbitenergie (Energie pro Kilogramm) ist

ε = v²/2 − μ/r = −μ / (2a)

Die kinetische und potentielle Energie ist entlang der Umlaufbahn konstant und hängt nur von a ab. Löse für v und du bekommst vis-viva. Folgen:

• Das Vorzeichen von ε klassifiziert die Umlaufbahn: negativ für Ellipsen, null für Parabeln, positiv für Hyperbeln.
• Bei jeder gegebenen Entfernung bestimmt die Geschwindigkeit allein a. Deshalb verändert ein einzelner Motorverbrennung an einem Punkt die Größe der gesamten Umlaufbahn, und deshalb können die nächsten Lektionen über Delta-V-Budgets sprechen.

Die Apsisgeschwindigkeiten folgen aus vis-viva mit r = a(1 ± e):

v_p = √(μ/a · (1+e)/(1−e)),   v_a = √(μ/a · (1−e)/(1+e))

Ihr Produkt ist v_p · v_a = μ/a = v_circ², also ist die Kreisgeschwindigkeit das geometrische Mittel der beiden, nicht das arithmetische Mittel. Das beantwortet die Try it Frage.