Orbito greitis: vis-viva lygtis

Kaip greitai juda erdvėlaivis? Pasakyk man, kiek jis toli nuo planetos ir kokia didelė jo orbita, ir viena trumpa lygtis atsakys į klausimą bet kurioje vietoje jo kelyje. Misijų planuotojai jį naudoja kiekvieną dieną.

Viena trumpa lygtis suteikia greitį bet kurioje orbitos vietoje.

Žiūrėk.

Viskas orbitoje visada keičiasi aukštį į greitį, kaip riedlentininkas ant pusvamzdžio.

• Priartėjus prie centrinio kūno, jis pagreitina.
• Lipdamas toliau, jis lėtėja.

Smėlio dėžėje geltona rodyklė rodo greitį: ilga rodyklė, greitai; trumpa rodyklė, lėtai. Stebėkite, kaip jis auga, kai kūnas įstumiamas ir susitraukia, kai jis išlipa.

Žemė daro tą patį, tik švelniai, nes jos orbita yra beveik apvali: ji juda apie 30.3 km/s sausio pradžioje ir apie 29.3 km/s liepos pradžioje.

Supratau.

The vis-viva equation (“living force”, an old word for energy) gives the speed at any point:

v = √( μ · (2/r − 1/a) )

• v: greitis
• μ: centrinio kūno gravitacinis parametras (GM)
• r – dabartinis atstumas nuo centrinio kūno centro
• a: orbitos pusiau didžioji ašis

Patikrinkite jį:

• Apskritimas (r = a): v = √(μ/a). Tai yra apskritimas greitis iš Newtono pamokos.
• Periapsis, r yra mažiausias, todėl 2/r yra didžiausias ir v yra greičiausias.
• Labai toli pabėgimo keliu (a → ∞): v = √(2μ/r). Tai yra pabėgimo greitis, apie kurį bus kalbama kitoje pamokoje.

Worked example: Earth around the Sun, μ = 1.327 × 10¹¹ km³/s², a = 149.6 million km. Aphelion r = 152,1 milijonų km:

v = √(1.327 × 10¹¹ × (2/1.521 × 10⁸ − 1/1.496 × 10⁹)) ≈ 29,3 km/s.

Pagrindinis

Vis-viva yra energijos taupymas užmaskuotas. Savybė orbitinė energija (energija kilogramui) yra

ε = v²/2 − μ/r = −μ / (2a)

Kinetinė ir potencialinė energija yra pastovi visoje orbitoje ir priklauso tik nuo a. Išspręskite v ir jūs gaunate vis-viva. Pasekmės:

• The sign of ε classifies the orbit: negative for ellipses, zero for a parabola, positive for a hyperbola.
• Bet kuriuo konkrečiu atstumu, greitis vien tik lemia a. Štai kodėl vieno variklio deginimas viename taške keičia visos orbitos dydį, ir kodėl kitos pamokos gali kalbėti apie delta-v biudžetus.

Apsis greitis iš vis-viva su r = a(1 ± e):

v_p = √(μ/a · (1+e)/(1−e)),   v_a = √(μ/a · (1−e)/(1+e))

Jų sandauga yra v_p · v_a = μ/a = v_circ², taigi apskritimas yra dviejų greičių geometrinis vidurkis, o ne aritmetinis vidurkis. Tai atsako į klausimą Pabandykite.