Orbitální rychlost: rovnice vis-viva

Jak rychle se pohybuje kosmická loď? Řekněte mi, jak daleko je od planety a jak velká je její oběžná dráha, a jedna krátká rovnice zodpoví otázku kdekoli na její cestě. Plánovači misí ji používají každý den.

Jedna krátká rovnice udává rychlost kdekoliv podél oběžné dráhy.

Podívejte se.

Cokoliv na oběžné dráze vždy vyměňuje výšku za rychlost, jako skateboardista na u-rampa.

• Přibližuje se k centrálnímu tělu a zrychluje.
• Když odlétá, zpomaluje.

V pískovišti žlutá šipka ukazuje rychlost: dlouhá šipka, rychle; krátká šipka, pomalu. Sledujte, jak roste, když se tělo houpe dovnitř a zmenšuje se, když vylézá ven.

Země dělá totéž, jen jemněji, protože její oběžná dráha je téměř kruhová: pohybuje se rychlostí asi 30,3 km/s na začátku ledna a asi 29,3 km/s na začátku července.

Pochopte to.

The Vis-viva rovnice (“živá síla”, staré slovo pro energii) udává rychlost v libovolném bodě:

v = √( μ · (2/r − 1/a) )

• v: rychlost
• μ: gravitační parametr centrálního tělesa (GM)
• r: aktuální vzdálenost od středu centrálního tělesa
• a: velká poloosa dráhy

Podívejte se na to:

• Kruh (r = a): v = √(μ/a). To je kruhová rychlost z Newtonovy lekce.
• V periapsis, r je nejmenší, takže 2/r je největší a v je nejrychlejší.
• Velmi daleko na únikové cestě (a → ∞): v = √(2μ/r). To je úniková rychlost, o které se budeme bavit v další lekci.

Příklad: Země kolem Slunce, μ = 1,327 × 10¹¹ km³/s², a = 149,6 milionu km. V apheliu r = 152,1 milionů km:

V = √(1,327 × 10¹¹ × (2/1,521 × 10⁸ − 1/1,496 × 10⁹)) ≈ 29,3 km/s.

Mistr

Vis-viva je úspora energie v přestrojení. Specifická orbitální energie (energie na kilogram) je

ε = v²/2 − μ/r = −μ / (2a)

Kinetická a potenciální energie je konstantní podél dráhy a závisí pouze na a. Řešení pro v a dostanete vis-viva. Důsledky:

• The Znamení Počet ε klasifikuje oběžnou dráhu: záporný pro elipsu, nula pro parabolu, kladný pro hyperbolu.
• V dané vzdálenosti určuje rychlost sama o sobě a. Proto jediné spálení motoru v jednom bodě změní velikost celé oběžné dráhy a proto se v dalších lekcích můžeme bavit o delta-v rozpočtech.

Rychlosti apsis vyplývají z vis-viva s r = a(1 ± e):

v_p = √(μ/a · (1+e)/(1−e)),   v_a = √(μ/a · (1−e)/(1+e))

Jejich součin je v_p · v_a = μ/a = v_circ², takže kruhová rychlost je geometrický průměr těchto dvou veličin, nikoli aritmetický průměr. To odpovídá na otázku Zkuste to.