Velocidad orbital: la ecuación vis-viva

¿Qué tan rápido se mueve una nave espacial? Dime cuán lejos está del planeta y qué tan grande es su órbita, y una breve ecuación responderá a la pregunta en cualquier lugar de su trayectoria. Los planificadores de misiones lo usan todos los días.

Una breve ecuación da la velocidad en cualquier punto de una órbita.

Mira.

Cualquier cosa en órbita siempre está cambiando altura por velocidad, como un patinador en un medio tubo.

• Cayendo más cerca del cuerpo central, se acelera.
• Subiendo lejos, se ralentiza.

En el sandbox la flecha amarilla muestra la velocidad: flecha larga, rápido; flecha corta, lento. Observa cómo crece a medida que el cuerpo se mueve hacia adentro y se encoge cuando sale.

La Tierra hace lo mismo, solo que suavemente porque su órbita es casi circular: se mueve alrededor de 30.3 km/s a principios de enero y alrededor de 29.3 km/s a principios de julio.

Entender

La ecuación vis-viva (“fuerza viva”, una palabra antigua para energía) da la velocidad en cualquier punto:

v = √( μ · (2/r − 1/a) )

• v: velocidad
• μ: el parámetro gravitacional del cuerpo central (GM)
• r: distancia actual desde el centro del cuerpo central
• a: semieje mayor de la órbita

Compruébalo:

• Círculo (r = a): v = √(μ/a). Esa es la velocidad circular de la lección de Newton.
• En el periapsis, r es menor, por lo que 2/r es mayor y v es más rápido.
• Muy lejos en una ruta de escape (a → ∞): v = √(2μ/r). Esa es la velocidad de escape, cubierta en la próxima lección.

Ejemplo trabajado: Tierra alrededor del Sol, μ = 1.327 × 10¹¹ km³/s², a = 149.6 millones de km. En el afelio r = 152,1 millones de km:

v = √(1.327 × 10¹¹ × (2/1.521 × 10⁸ − 1/1.496 × 10⁹)) ≈ 29,3 km/s.

Master

Vis-viva es la conservación de energía disfrazada. La energía orbital específica (energía por kilogramo) es

ε = v²/2 − μ/r = −μ / (2a)

La energía cinética más potencial es constante a lo largo de la órbita y depende solo de a. Resolver para v y se obtiene vis-viva. Consecuencias:

• The Signo El valor de ε clasifica la órbita: negativo para las elipses, cero para una parábola, positivo para una hipérbole.
• A cualquier distancia dada, la velocidad por sí sola determina a. Es por eso que una sola quemadura de motor en un punto cambia el tamaño de toda la órbita, y por qué las próximas lecciones pueden hablar sobre los presupuestos delta-v.

Las velocidades de ápsis siguen de vis-viva con r = a(1 ± e):

v_p = √(μ/a · (1+e)/(1−e)),   v_a = √(μ/a · (1−e)/(1+e))

Su producto es v_p · v_a = μ/a = v_circ², por lo que la velocidad circular es la media geométrica de los dos, no la media aritmética. Eso responde a la pregunta de Pruébalo.