Vitesse orbitale : l’équation vis-à-vis

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Orbit Sandbox

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Qu'est-ce qu'une orbite ? Jetez une balle sur le côté et elle se courbe vers le sol. Lancez-la plus vite et elle atterrit plus loin. Lancez-la assez vite et le sol se courbe sous elle aussi rapidement qu'elle tombe, donc elle n'atterrit jamais: elle continue de tomber autour de la planète et manque toujours. C'est une orbite. Rien ne retient un satellite; il tombe tout le temps.

Ce qui se passe:

Accélérer maintenant

Taille maintenant

Un tour prend

Hauteur la plus basse

La plus haute hauteur

Essayez ceci

Essayez une vraie orbite Organe central Vitesse du temps

Hauteur au-dessus de la Terre:

Vitesse latérale:

Recule en arrière Orbits Échappements

Voie terrestre Afficher les surfaces égales (2ème loi de Kepler) Vue de côté

Réglage de l'orbite (éléments orbitaux et lois de Kepler)

Les astronomes décrivent une orbite avec cinq nombres appelés éléments orbitaux, modifiez-les ici; la hauteur et la vitesse ci-dessus suivent.

Taille (demi-grand axe): Étirement (excentricité): Tilt (inclinaison): Tourner dans son plan (argument de périapse): Tour de l'inclinaison (longitude du nœud ascendant):

Le plus rapide (périapsis)

Le plus lent (apoapsis)

Vérification de la 3ème loi de Kepler: T² / a³

Comment l'utiliser

Vitesse latérale: Trop lentement, il tombe en arrière. Assez vite, il tourne en cercle. Plus vite, il se balance dans une ellipse. Plus vite que la vitesse d'évasion et il part pour toujours. La barre colorée sous le curseur montre où chacun commence à la hauteur choisie.
Hauteur: Plus haut, la gravité est plus faible, donc une vitesse plus lente suffit pour rester en orbite.
Vitesse du temps: Les orbites réelles prennent des heures, des jours ou des années, donc le temps passe plus vite ici. Temps ×1000 signifie que chaque seconde à l'écran est de 1000 secondes (environ 17 minutes) dans l'espace. La rotation de la planète est accélérée du même montant.
Voie terrestre: La trace d'or au sol est le chemin directement sous le satellite, la Terre tourne en dessous de l'orbite, donc chaque tour passe par différents endroits.
Flèche d'or: Dans quelle direction il se déplace et à quelle vitesse: plus la flèche est longue, plus elle est rapide.
Regardant autour de moi: La grille faible est le plan de l'équateur terrestre (ou, autour du Soleil, le plan de l'orbite terrestre), et la grille plus élevée est le plan de l'équateur céleste.

Tableau de données (texte alternatif)

Distance et vitesse à douze pas égaux autour de l'orbite
Étape temporelle	Distance du Soleil maintenant	Accélérer maintenant

À quelle vitesse se déplace un vaisseau spatial? Dites-moi à quelle distance il se trouve de la planète et quelle est sa grandeur orbitale, et une courte équation répondra à la question n’importe où sur son trajet. Les planificateurs de mission l’utilisent tous les jours.

La Terre vue à travers les sept fenêtres du dôme de la Station spatiale internationale. — La Terre à travers le dôme de la Station spatiale internationale, qui tourne autour de la planète environ toutes les 90 minutes. Credit: NASA

Une courte équation donne la vitesse n’importe où le long d’une orbite.

Regardez.

Tout ce qui est en orbite échange toujours hauteur contre vitesse, comme un skater sur un half-pipe.

En tombant plus près du corps central, il accélère.
En s’éloignant, il ralentit.

Dans le bac à sable, la flèche jaune indique la vitesse: longue flèche, rapide; flèche courte, lente. Regardez-le grandir au fur et à mesure que le corps se balance, et rétrécir au fur et à mesure qu’il grimpe.

La Terre fait la même chose, mais doucement car son orbite est presque circulaire : elle se déplace à environ 30,3 km/s début janvier et à environ 29,3 km/s début juillet.

Comprendre

L’équation vis-viva (“force vivante”, un ancien mot pour l’énergie) donne la vitesse à n’importe quel point:

v = √( μ · (2/r − 1/a) )

v : vitesse
μ: le paramètre gravitationnel du corps central (GM)
r : distance actuelle du centre du corps central
a: demi-grand axe de l’orbite

Vérifiez-le:

Cercle (r = a): v = √(μ/a). C’est la vitesse circulaire de la leçon de Newton.
Au périhélie, r est le plus petit, donc 2/r est le plus grand et v est le plus rapide.
Très loin sur une voie d’évacuation (a → ∞): v = √(2μ/r). C’est la vitesse d’évasion, qui sera abordée dans la prochaine leçon.

Exemple travaillé : Terre autour du Soleil, μ = 1,327 × 10¹¹ km³/s², a = 149,6 millions de km. À l ’ apogée r = 152,1 millions de km:

v = √(1,327 × 10¹¹ × (2/1,521 × 10⁸ − 1/1,496 × 10⁹)) ≈ 29,3 km/s.

Master

Vis-viva, c’est la conservation de l’énergie déguisée. L’énergie orbitale spécifique (énergie par kilogramme) est

ε = v²/2 − μ/r = −μ / (2a)

L’énergie cinétique et potentielle est constante le long de l’orbite et ne dépend que d’a. Résolvez pour v et vous obtenez vis-viva. Conséquences :

Le signe de ε classe l’orbite : négatif pour les ellipses, zéro pour une parabole, positif pour une hyperbole.
À une distance donnée, la vitesse seule détermine a. C’est pourquoi une seule combustion du moteur à un moment donné change la taille de toute l’orbite, et pourquoi les prochaines leçons peuvent parler des budgets delta-v.

Les vitesses d’apsis suivent de vis-viva avec r = a(1 ± e):

v_p = √(μ/a · (1+e)/(1−e)), v_a = √(μ/a · (1−e)/(1+e))

Leur produit est v_p · v_a = μ/a = v_circ², donc la vitesse circulaire est la moyenne géométrique des deux, pas la moyenne arithmétique. Cela répond à la question Essayez-le.

Essayez-le !

Avec le Soleil comme corps central, fixez a = 1 au et e = 0. Remarquez la vitesse. Montez maintenant e à 0,6 et comparez les vitesses les plus rapides et les plus lentes avec ce nombre. La moyenne des deux est-elle égale à la vitesse circulaire?

Quiz rapide

3 questions rapides. Choisissez une réponse pour voir si vous avez raison.

Dans l'équation vis-à-vis, qu'arrive-t-il à la vitesse lorsque le corps se rapproche du corps central ?
1. A Il augmente
2. B Il diminue
3. C Il reste constant
4. D Il devient zéro
Afficher la réponse
A. Il augmente
Pour une orbite circulaire (r = a), vis-viva donne:
1. A v = √(2μ/r)
2. B v = √(μ/r)
3. C v = μ/r
4. D v = 0
Afficher la réponse
B. v = √(μ/r)
La Terre se déplace en moyenne à environ 29,8 km/s autour du Soleil.
1. A 29,3 km/s
2. B 30,3 km/s
3. C 35 km/s
4. D 42 km/s
Afficher la réponse
B. 30,3 km/s v_p = √(μ/a · (1+e)/(1−e)) avec e = 0,0167 donne environ 30,3 km/s.

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Sources

Ce cours est sous licence CC BY-SA 4.0.

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