Omloppshastighet: vis-viva-ekvationen

Hur snabbt rör sig en rymdfarkost? Säg mig hur långt den är från planeten och hur stor dess bana är, så svarar en kort ekvation på frågan var som helst längs dess bana. Missionsplanerare använder den varje dag.

En kort ekvation ger hastigheten var som helst längs en bana.

Titta.

Allt i omloppsbana byter alltid höjd mot hastighet, som en skateboardåkare på en half-pipe.

• Faller närmare den centrala kroppen, det accelererar.
• Klättrar bort, saktar det ner.

I sandlådan visar den gula pilen hastigheten: lång pil, snabb; kort pil, långsam. Se den växa när kroppen svänger in och krympa när den klättrar ut.

Jorden gör samma sak, bara försiktigt eftersom dess bana är nästan cirkulär: den rör sig med cirka 30,3 km/s i början av januari och cirka 29,3 km/s i början av juli.

Förstå

Den vis-viva ekvation (“levande kraft”, ett gammalt ord för energi) ger hastigheten vid en given punkt:

v = √( μ · (2/r − 1/a) )

• v: hastighet
• μ: centralkroppens gravitationsparameter (GM)
• r: aktuellt avstånd från centrum av den centrala kroppen
• a: halvstoraxeln för banan

Kolla in det:

• Cirkel (r = a): v = √(μ/a). Det är den cirkulära hastigheten från Newtons lektion.
• Vid periapsis, r är minsta, så 2/r är största och v är snabbast.
• Mycket långt borta på en flyktväg (a → ∞): v = √(2μ/r). Det är flykthastigheten, som behandlas i nästa lektion.

Jorden rör sig runt solen med en hastighet av μ = 1,327 × 10¹¹ km³/s², a = 149,6 miljoner km. Vid aphelium r = 152,1 miljoner km:

V = √(1,327 × 10¹¹ × (2/1,521 × 10⁸ − 1/1,496 × 10⁹)) ≈ 29,3 km/s.

Master

Vis-viva är energibesparing i förklädnad. Den specifika orbitalen energi (energi per kilogram) är

ε = v²/2 − μ/r = −μ / (2a)

Kinetisk plus potentiell energi är konstant längs banan och beror endast på a. Lös för v och du får vis-viva. Konsekvenser:

• Den tecken Omloppsbanan klassificeras med hjälp av ε: negativ för ellipser, noll för paraboler och positiv för hyperboler.
• Vid ett givet avstånd bestämmer enbart hastigheten a. Det är därför en enda motor brinner vid en punkt ändrar storleken på hela banan, och varför nästa lektioner kan prata om delta-v budgetar.

Apsishastigheterna följer från vis-viva med r = a(1 ± e):

v_p = √(μ/a · (1+e)/(1−e)),   v_a = √(μ/a · (1−e)/(1+e))

Deras produkt är v_p · v_a = μ/a = v_circ², så den cirkulära hastigheten är det geometriska medelvärdet av de två, inte det aritmetiska medelvärdet. Det besvarar frågan om att prova.