Orbital bilis: ang vis-viva equation

Paano mabilis ay isang spacecraft paglipat? Sabihin sa akin kung gaano kalayo ito ay mula sa planeta at kung paano malaki ang kanyang orbita ay, at isang maikling equation sagot sa mga katanungan kahit saan kasama ang kanyang landas. Ang mga planner ng misyon ay gumagamit nito araw-araw.

Ang isang maikling equation ay nagbibigay ng bilis sa kahit saan kasama ang isang orbit.

Tingnan

Ang anumang bagay sa orbit ay palaging kalakalan taas para sa bilis, tulad ng isang skateboarder sa isang kalahati-pipe.

• Sa pag-aakyat sa tuktok ng bundok, ang mga ito ay nagiging mas mabilis.
• Sa pag-akyat, ito ay mabagal.

Sa sandbox ang dilaw na arrow ay nagpapakita ng bilis: mahabang arrow, mabilis; maikling arrow, mabagal. Tingnan ito lumago bilang ang katawan swings sa, at mag-shrink bilang ito umakyat out.

Earth ay ang parehong bagay, lamang ng banayad dahil sa kanyang orbita ay halos pabilog: ito gumagalaw tungkol sa 30.3 km / s sa unang bahagi ng Enero at tungkol sa 29.3 km / s sa unang bahagi ng Hulyo.

Maunawaan

Ang vis-viva equation (“living force”, isang lumang salita para sa enerhiya) ay nagbibigay ng bilis sa anumang punto:

v = √( μ · (2/r − 1/a) )

• v: bilis
• μ: ang gravitational parameter ng sentrong katawan (GM)
• r: kasalukuyang distansya mula sa sentro ng central katawan
• a: semi-malalaking axis ng orbit

Tingnan ito:

• Circle (r = a): v = √(μ/a). Ito ang mga bilis ng pabilog mula sa aralin Newton.
• Sa periapsis, r ay pinakamaliit na, kaya2/r ay pinakamalaking at v ay mabilis.
• Very far away on an escape path (a → ∞): v = √(2μ/r). Iyon ay ang escape bilis, sakop sa susunod na aralin.

Ang mga halimbawa ng mga ito ay: ang Earth sa paligid ng Araw, μ = 1.327 × 10¹¹ km³/s², a = 149.6 milyong kilometro. Sa aphelion r = 152.1 milyong km:

v = √(1.327 × 10¹¹ × (2/1.521 × 10⁸ − 1/1.496 × 10⁸)) ≈ 29.3 km/s.

Master

Ang Vis-viva ay enerhiya conservation sa disguise. Ang tiyak orbital enerhiya (enerhiya bawat kilogramo) ay

ε = v²/2 − μ/r = −μ / (2a)

Kinetic plus potensyal na enerhiya ay pare-pareho sa tabi ng orbit at depende lamang sa isang. Malutas para sa v at makakuha ka ng vis-viva. Konseptong

• Ang sign ng ε ay nag-uuuri sa orbita: negatibo para sa mga ellipses, sero para sa isang parabola, positibo para sa isang hiperbola.
• Sa anumang ibinigay na distansya, ang bilis nag-iisa ay tumutukoy sa isang. Ito ay kung bakit ang isang solong engine burn sa isang punto ay nagbabago ang laki ng buong orbit, at kung bakit ang susunod na mga aralin ay maaaring makipag-usap tungkol sa delta-v badyet.

Apsis bilis sundin mula sa vis-viva na may r = isang (1 + e):

Ang v_p = √(μ/a · (1+e)/(1−e)),   v_a = √(μ/a · (1−e)/(1+e))

Ang kanilang produkto ay v_p · v_a = μ/a = v_circ², kaya ang bilis na pabilog ay ang heometrikong kalahati ng dalawa, hindi ang aritmetikong kalahati. Na ang sagot sa Subukan ito katanungan.