سرعت مداری: معادله vis-viva

يه فضاپيما چقدر سريع حرکت ميکنه؟ به من بگو که چقدر از سیاره دور است و مدارش چقدر بزرگ است، و یک معادله کوتاه پاسخ سوال را در هر جایی در مسیرش می‌دهد. برنامه ریزان ماموریت هر روز ازش استفاده می کنن

یک معادله کوتاه سرعت را در هر نقطه از مدار می‌دهد.

ببين

هرچيزي که در مداره هميشه ارتفاع رو براي سرعت عوض ميکنه مثل يه اسکيت بازيکن روي يه نصف لوله

• با نزدیک شدن به مرکز، سرعت آن افزایش می‌یابد.
• با بالا رفتن از ارتفاع، سرعتش کم میشه.

در جعبه شن، فلش زرد سرعت را نشان می‌دهد: فلش طولانی، سریع؛ فلش کوتاه، آهسته. وقتي بدن تو حرکته نگاه کن و ببين چطور رشد ميکنه و وقتي از بالا ميره کوچک ميشه

زمین نیز این کار را می‌کند، اما به آرامی چون مدار آن تقریباً دایره‌ای است: در اوایل ژانویه با سرعت 30.3 کیلومتر بر ثانیه و در اوایل ژوئیه با سرعت 29.3 کیلومتر بر ثانیه حرکت می‌کند.

بفهم

. اون معادله vis- viva (“نفوذ زنده”، واژه قدیمی برای انرژی) سرعت هر نقطه را نشان می دهد:

v = √( μ · (2/r − 1/a) )

• سرعت
• μ: پارامتر گرانشی جسم مرکزی (GM)
• r: فاصله فعلی از مرکز جسم مرکزی
• a: نیمه محور بزرگ مدار

نگاه کن:

• دایره (R = a): v = √(μ/a). این سرعت دایره ای از درس نیوتن است.
• در نزدیکی, r کوچکترین است، بنابراین 2/r بزرگترین و v سریعترین است.
• خيلي دور توي راه فرار (a → ∞): v = √(2μ/r). این سرعت فرار است که در درس بعدی مورد بحث قرار می‌گیرد.

مثال عملی: زمین به دور خورشید، μ = 1.327 × 10¹¹ کیلومتر مکعب/ثانیه مربع، a = 149.6 میلیون کیلومتر. در نقطهٔ اوج r = 152.1 میلیون کیلومتر:

در این حالت، v = √(1.327 × 10¹¹ × (2/1.521 × 10⁸ − 1/1.496 × 10⁹) ≈ 29.3 کیلومتر بر ثانیه است.

استاد

. “ويس-وايوا” حفظ انرژي در پوشش است انرژی مداری خاص (انرژی در هر کیلوگرم)

ε = v²/2 − μ/r = −μ / (2a)

انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل در طول مدار ثابت هستند و تنها به a بستگی دارند. . حل کن براي v و ميگي “زنده” عواقب:

• . اون علامت ε مدار را طبقه‌بندی می‌کند: منفی برای بیضوی، صفر برای پارابولا، مثبت برای ابرخط.
• در هر فاصلهٔ داده شده، سرعت به تنهایی a را تعیین می‌کند. این به این دلیل است که یک سوختن موتور در یک نقطه اندازهٔ کل مدار را تغییر می‌دهد، و چرا درس‌های بعدی می‌توانند دربارهٔ بودجه دلتا-وی صحبت کنند.

سرعت‌های اپسیس از vis-viva با r = a(1 ± e) به دست می‌آیند:

v_p = √(μ/a · (1+e)/(1−e))،   v_a = √(μ/a · (1−e)/(1+e))

حاصل ضرب آن‌ها v_p · v_a = μ/a = v_circ² است، بنابراین سرعت دایره‌ای میانگین هندسی این دو است نه میانگین حسابی. این مسئله به پرسش «چرا» پاسخ می‌دهد.