Omløbshastighed: vis-viva ligningen

Hvor hurtigt bevæger et rumfartøj sig? Fortæl mig hvor langt væk den er fra planeten og hvor stor dens bane er, så kan jeg med en kort ligning besvare spørgsmålet om hvor som helst på dens bane. Missionsplanlæggere bruger det hver dag.

En kort ligning giver hastigheden hvor som helst langs en bane.

Se.

Alt i kredsløb bytter altid højde for hastighed, ligesom en skateboarder på en half-pipe.

• Når den falder tættere på det centrale legeme, accelererer den.
• Når den klatrer væk, sænker den farten.

I sandkassen viser den gule pil hastigheden: lang pil, hurtigt; kort pil, langsomt. Se den vokse, når kroppen svinger ind og krympe, når den klatrer ud.

Jorden gør det samme, men forsigtigt, fordi dens bane er næsten cirkulær: den bevæger sig med omkring 30,3 km/s i begyndelsen af januar og omkring 29,3 km/s i begyndelsen af juli.

Forstået.

Den vis-viva-ligningen (“levende kraft”, et gammelt ord for energi) giver hastigheden på ethvert punkt:

v = √( μ · (2/r − 1/a) )

• v: hastighed
• μ: det centrale legemes gravitationsparameter (GM)
• r: den aktuelle afstand fra midten af det centrale legeme
• a: halvstore akse af banen

Tjek det ud:

• Cirkel (r = a): v = √(μ/a). Det er den cirkulære hastighed fra Newtons lektion.
• Ved periapsis, r er mindste, så 2/r er største og v er hurtigst.
• Meget langt væk på en flugtvej (a → ∞): v = √(2μ/r). Det er flugthastigheden, som vi kommer ind på i næste lektion.

Worked example: Earth around the Sun, μ = 1.327 × 10¹¹ km³/s², a = 149.6 million km. Ved aphelium r = 152,1 millioner km:

v = √(1.327 × 10¹¹ × (2/1.521 × 10⁸ − 1/1.496 × 10⁸)) ≈ 29.3 km/s.

Master

Vis-viva er energibesparelse i forklædning. Den specifikke orbitale energi (energi pr. kg) er

ε = v²/2 − μ/r = −μ / (2a)

Kinetisk plus potentiel energi er konstant langs banen og afhænger kun af a. Løs for v og du får vis-viva. Konsekvenser:

• Den tegn Et tal på ε klassificerer banen: negativ for ellipser, nul for en parabel, positiv for en hyperbel.
• Ved en given afstand bestemmer hastigheden alene a. Dette er grunden til, at en enkelt motor brænde på et tidspunkt ændrer størrelsen af hele kredsløbet, og hvorfor de næste lektioner kan tale om delta-v budgetter.

Apsishastighederne følger fra vis-viva med r = a(1 ± e):

v_p = √(μ/a · (1+e)/(1−e)),   v_a = √(μ/a · (1−e)/(1+e))

Deres produkt er v_p · v_a = μ/a = v_circ², så den cirkulære hastighed er det geometriske middelværdi af de to, ikke det aritmetiske middelværdi. Det besvarer spørgsmålet om at prøve det.