Shpejtësia orbitale: ekuacioni vis-viva

Sa shpejt lëviz një anije kozmike? Më thuaj sa larg është nga planeti dhe sa e madhe është orbita e tij, dhe një ekuacion i shkurtër do të përgjigjet për çdo gjë në rrugën e tij. Planifikuesit e misioneve e përdorin atë çdo ditë.

Një ekuacion i shkurtër jep shpejtësinë kudo përgjatë një orbite.

Shiko.

Çdo gjë në orbitë është gjithmonë duke shkëmbyer lartësi për shpejtësi, si një skater në një gjysmë-tubë.

• Duke rënë më afër trupit qendror, ai përshpejtohet.
• Duke u ngjitur larg, ajo ngadalësohet.

Në kutinë e rërës shigjeta e verdhë tregon shpejtësinë: shigjetë e gjatë, e shpejtë; shigjetë e shkurtër, e ngadaltë. Shikoje si rritet kur trupi hyn brenda dhe si tkurret kur del jashtë.

Toka bën të njëjtën gjë, vetëm ngadalë sepse orbita e saj është pothuajse rrethore: ajo lëviz rreth 30.3 km / s në fillim të janarit dhe rreth 29.3 km / s në fillim të korrikut.

Kuptoje.

Ekuacioni vis-viva (“forca e gjallë”, një fjalë e vjetër për energjinë) jep shpejtësinë në çdo pikë:

v = √( μ · (2/r − 1/a) )

• v: shpejtësi
• μ: parametri gravitacional i trupit qendror (GM)
• r: distanca aktuale nga qendra e trupit qendror
• a: gjysmë-aksi i madh i orbitës

Kontrolloje:

• Rreth (R = a): v = √(μ/a). Kjo është shpejtësia rrethore nga mësimi i Njutonit.
• Në perihelium, r është më e vogla, kështu që 2/r është më e madhe dhe v është më e shpejta.
• Shumë larg në një rrugë të arratisjes (a → ∞): v = √(2μ/r). Kjo është shpejtësia e arratisjes, e mbuluar në mësimin tjetër.

Shembull i punuar: Toka rreth Diellit, μ = 1.327 × 10¹¹ km³/s², a = 149.6 milion km. Në aphelion r = 152.1 milion km:

v = √(1.327 × 10¹¹ × (2/1.521 × 10⁸ − 1/1.496 × 10⁸)) ≈ 29.3 km/s.

Mjeshtër

Vis-viva është ruajtja e energjisë në maskë. Energjia specifike orbitale (energji për kilogram) është

ε = v²/2 − μ/r = −μ / (2a)

Energjia kinetike plus energjia potenciale është konstante përgjatë orbitës dhe varet vetëm nga a. Zgjidh për v dhe do të kesh vis-viva. Pasojat:

• • Po. shenjë e ε klasifikon orbitën: negative për elipsë, zero për parabolë, pozitive për hiperbolë.
• Në çdo distancë të dhënë, vetëm shpejtësia e përcakton a. Kjo është arsyeja pse një motor i vetëm që djeg në një pikë ndryshon madhësinë e gjithë orbitës, dhe pse mësimet e ardhshme mund të flasin për buxhetet delta-v.

Shpejtësitë e apsis ndjekin nga vis-viva me r = a(1 ± e):

v_p = √(μ/a · (1+e)/(1−e)),   v_a = √(μ/a · (1−e)/(1+e))

Prodhimi i tyre është v_p · v_a = μ/a = v_circ², kështu që shpejtësia rrethore është * mesatarja gjeometrike * e dyve, jo mesatarja aritmetike. Kjo përgjigjet pyetjes Provoje.