Orbitale snelheid: de vis-viva vergelijking

Hoe snel beweegt een ruimtevaartuig? Zeg me hoe ver hij van de planeet is en hoe groot zijn baan is, en één korte vergelijking beantwoordt de vraag overal langs zijn pad. Missieplanners gebruiken het elke dag.

Een korte vergelijking geeft de snelheid overal langs een baan.

Kijk.

Alles in een baan om de aarde ruilt altijd hoogte voor snelheid, zoals een skateboarder op een halfpipe.

• Als het dichter bij het centrale lichaam valt, versnelt het.
• Als je wegklimt, vertraagt het.

In de sandbox geeft de gele pijl de snelheid aan: lange pijl, snel; korte pijl, langzaam. Kijk hoe het groeit als het lichaam inschuift en krimpt wanneer het eruit klimt.

De aarde doet hetzelfde, alleen zachtjes omdat haar baan bijna cirkelvormig is: ze beweegt zich ongeveer 30,3 km/s in begin januari en ongeveer 29,3 km/s in begin juli.

Begrijp je?

De vis-viva vergelijking (“levende kracht”, een oud woord voor energie) geeft de snelheid op elk punt:

v = √( μ · (2/r − 1/a) )

• v: snelheid
• μ: de zwaartekrachtparameter van het centrale lichaam (GM)
• r: huidige afstand van het centrum van het centrale lichaam
• a: halfgrote as van de baan

Check het uit:

• Cirkel (r = a): v = √(μ/a). Dat is de cirkelsnelheid uit de les van Newton.
• Bij periapsis, r is het kleinst, dus 2/r is het grootste en v is het snelste.
• Heel ver weg op een vluchtweg (a → ∞): v = √(2μ/r). Dat is de ontsnappingssnelheid, die in de volgende les behandeld wordt.

Werkvoorbeeld: Aarde rond de Zon, μ = 1.327 × 10¹¹ km³/s², a = 149,6 miljoen km. Bij aphelium r = 152,1 miljoen km:

De snelheid van de beweging is v = √(1.327 × 10¹¹ × (2/1.521 × 10⁸ − 1/1.496 × 10⁹) ≈ 29.3 km/s.

Meester

Vis-viva is energiebesparing in vermomming. De specifieke orbitale energie (energie per kilogram) is

ε = v²/2 − μ/r = −μ / (2a)

De kinetische energie is de energie die een object heeft als het in een baan om de zon beweegt. Los op voor v en je krijgt vis-viva. Gevolgen:

• De teken De waarde van ε classificeert de baan: negatief voor ellipsen, nul voor een parabool, positief voor een hyperbool.
• Op een gegeven afstand bepaalt alleen de snelheid a. Dit is de reden waarom een enkele motorverbranding op een bepaald punt de grootte van de hele baan verandert, en waarom de volgende lessen over delta-v budgetten kunnen spreken.

De apsissnelheden volgen van vis-viva met r = a(1 ± e):

v_p = √(μ/a · (1+e)/(1−e)),   v_a = √(μ/a · (1−e)/(1+e))

Hun product is v_p · v_a = μ/a = v_circ², dus de cirkelsnelheid is het geometrische gemiddelde van de twee, niet het rekenkundige gemiddelde. Dat beantwoordt de Try it vraag.